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勾股定理

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註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

勾股定理，西方曰畢氏定理，直角三角形之理也。餘弦定理之特例，亦為托勒密定理之特例。

平面幾何

[纂｜溯源]

勾股定理云：「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。」

中華曰商高肇之，故又曰商高定理，始述於周髀算經，東漢末趙爽以勾股方圓圖證；泰西曰畢氏定理，古埃及人或巴比倫人所肇，古希臘畢達哥拉斯始證。

有證逾百，皆以歐氏幾何，蓋其等價平行公理也。

非歐幾何

[纂｜溯源]

觀球面，勾股定理云：「勾股各除以半徑，取餘弦，乘之，股除以半徑之餘弦也。」（{\displaystyle \cos {\frac {a}{R}}\cos {\frac {b}{R}}=\cos {\frac {c}{R}}}）

觀曲率為負一之雙曲平面，勾股定理云：「勾股各取雙曲餘弦，乘之，股之雙曲餘弦也。」（{\displaystyle \cosh a\cosh b=\cosh c}）

證明

[纂｜溯源]

趙爽「勾股圓方圖」之證

[纂｜溯源]
勾股冪合以成弦冪
「
按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。
」
——三國·吳國·趙爽，《周髀算經注》

釋：設「勾」為 a，「股」為 b，「弦」為 c。「勾股相乘」乃 ab ，即朱實二（因朱實乃三角形，面積乃 {\displaystyle {\frac {1}{2}}ab} 也）。倍之者，乃 2ab ，即朱實四也。「勾股之差」乃 b-a ，其方者乃 {\displaystyle (b-a)^{2}} ，黃實也。朱實四及黃實之和，弦實也，即 {\displaystyle c^{2}} 。是故 {\displaystyle 2ab+(b-a)^{2}=c^{2}} ，化簡得 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 。勾股定理得證矣。

簡述之，則以

[纂｜溯源]

{\displaystyle c^{2}=4\cdot {\frac {1}{2}}ab+(a-b)^{2}}

{\displaystyle 2ab+a^{2}-2ab+b^{2}}

{\displaystyle =a^{2}+b^{2}}

即勾股定理{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

c者，大方之邊也，2ab者，朱實之幂也。

趙爽 勾股圓方圖證勾股定理

劉徽「割補術」之證

[纂｜溯源]
劉徽 青朱出入圖
「
勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。
」
——三國·魏國·劉徽，《九章算術注》

釋：設「勾」為 a，「股」為 b，「弦」為 c。「勾自乘」乃 {\displaystyle a^{2}} ，即「朱方」；「股自乘」乃 {\displaystyle b^{2}} ，即「青方」。朱方及青方之和，等於大正方形之面積，乃「弦方」，即 {\displaystyle c^{2}} 。故 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 也。

歐幾里得《幾何原本》之證

[纂｜溯源]
歐幾里得《幾何原本》之證

設{\displaystyle \triangle ABC}為一直角三角形，其{\displaystyle \angle CAB}者，直角也。自A點作垂線於對邊。延是線，分對邊之正方形為二也，其面積等於二正方形之和也。

證之先，有四輔助定理：

  • 有三角形二，若等其二邊，并等其夾角，則二者，全等也。（SAS定理）
  • 三角形之面積者，半之同底同高之平行四邊形之面積也。
  • 任一正方形之面積者，邊長平方也。
  • 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。

證之思：上述二正方形，輔之以同底等高之三角形，據其面積關係，等於下二等面積之矩形也。

證明輔圖二

證明：

  1. 設{\displaystyle \triangle ABC}為一直角三角形，其{\displaystyle \angle CAB}者，直角也。
  2. 其邊，BC、AB、CA也。依序繪四方形，CBDE、BAGF及ACIH也。
  3. 經點A作平行線於BD、CE也。交BC及DE分別於點K、L也。
  4. 連CF、AD，三角形{\displaystyle \triangle BCF}及三角形{\displaystyle \triangle BDA}成也。
  5. {\displaystyle \angle CAB}及{\displaystyle \triangle BAG}者，直角也。是故C、A、G都三點共線。同理可證B、A、H三點共線。
  6. {\displaystyle \angle CBD}及{\displaystyle \angle FBA}，皆直角也，故{\displaystyle \angle ABD}等於{\displaystyle \angle FBC}。
  7. 因AB及BD分別等於FB及BC，故{\displaystyle \triangle ABD}等於{\displaystyle \triangle FBC}。
  8. 因A、K、L三點共線，故矩形BDLK之面積，二倍於{\displaystyle \triangle ABD}也。
  9. 因C、A、G三點共線，故矩形BAGF之面積，二倍於{\displaystyle \triangle FBC}也。
  10. 是故矩形BDLK之面積，等於BAGF之面積也，乃{\displaystyle AB^{2}}也。
  11. 同理可證，四邊形CKLE之面積，等於四邊形ACIH之面積也，乃{\displaystyle AC^{2}}。
  12. 求和，得 {\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BD\times BK+KL\times KC}。
  13. 又{\displaystyle BD=KL}，{\displaystyle BD\times BK+KL\times KC=BD(BK+KC)=BD\times BC}。
  14. 又四邊形CBDE者，正方形也，故{\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}}也。

是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節[一]。

參

[纂｜溯源]
  1. ↑ 《幾何原本》第1.47節（英文），歐幾里德著

見

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勾股定理
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