Teorèma de Pitagòras
Lo teorema de Pitagòras es un teorema de geometria euclidiana qu'establís una relacion entre las longors daus costats d'un triangle rectangle. Enóncia que lo carrat de la longor de l'ipotenusa, lo costat opausat a l'angle drech, es egau a la soma daus carrats de las longors daus dos autres costats. Pòrta lo nom dau matematician e filosòfe grec Pitagòras (segle VI avC), mas la relacion era desjà coneiguda en Mesopotamia au començament dau milleni II avC. Lo teorema e sa recipròca permeten de caracterizar los triangles rectangles. An d'aplicacions multiplas dins de domenis variats coma la construccion o lo calcul de distàncias. A tanben de perlonjaments que permeten de lo generalizar dins mai d'una brancha de las matematicas.
Enonciat
[modificar | modificar lo còdi]
La formulacion mai coneiguda dau teorema de Pitagòras es la seguenta : dins un triangle rectangle, lo carrat de la longor de l'ipotenusa, lo costat opausat a l'angle drech, es egau a la soma daus carrats de las longors daus dos autres costats. Es a dire que, se los costats de l'angle drech an per longors a e b e l'ipotenusa per longor c, alara :
Queu teorema admet una recipròca : se, dins un triangle, lo carrat de la longor dau costat mai long es egau a la soma daus carrats de las longors daus dos autres costats, alara queu triangle es rectangle. Aquela recipròca fornís un mejan simple de verificar qu'un triangle es rectangle a partir de las longors de sos costats.
Istòria
[modificar | modificar lo còdi]
La relacion exprimida per lo teorema de Pitagòras era coneiguda per mai d'una civilizacion antica anteriora o independenta aus Grecs Ancians. Segon las coneissenças actualas, los vestigis arqueologics mai vielhs mostrant d'utilizacions dau teorema datan dau començament dau millenari II avC. Fugueren descuberts en Mesopotamia. Lo mai celebre es la tauleta Plimpton 322. Generalament datada de 1800 avC, compòrta un tableau presentant de triplets pitagoricians, es a dire de nombres entiers que verifican la relacion a² + b² = c²[1][2][3]. En Egipte, una relacion simplificada seriá estada utilizada per establir d'angles drechs a partir de triangles 3-4-5 – la forma mai simpla de triangle rectangle – mas los papirus matematics permeten pas d'establir una coneissença dau teorema generau[4][5].
Dins lo resta d'Asia, lo teorema apareiguet dins los Śulba-Sūtras, una annexa daus Vedas escricha entre los segles VIII e IV avC[6]. Los matematicians indians i desvelopavan una concepcion pròpria de la relacion que lo texte parla de rectangle e de sa diagonala[7]. En China, lo teorema es mencionat dins lo Zhoubi Suanjing, una compilacion de problemas estudiats durant lo periòde Zhou (1045-256 avC)[8][9].
La tradicion atribuís lo teorema a Pitagòras (v. 570-496 avC), matematician e filosòfe dau segle VI avC, o a son escòla. Quela atribucion es incertana que los escrichs eventuaus daus pitagoricians son perduts. De mai, las fonts que la rapòrtan son ben posterioras e de Grecs ancians, coma lo filosòfe Proclus (412-485), avián desjà de dobtes sus aqueu raconte[10]. Pertant, se las condicions de la descuberta dau teorema per los Grecs son inconeigudas, son utilizacion fuguet frequenta dins lo país a partir dau segle V avC[11].
Demostracion
[modificar | modificar lo còdi]
La demostracion dau teorema de Pitagòras es un classic de las matematicas e de centenas de demostracion, basadas sus d'apròchas variadas, son actualament coneigudas[12]. Quela abondància, relativament rara per una relacion matematica, tesmonha de l'importància dau teorema dins las matematicas. Chasca brancha de la disciplina ne'n prepausa aitau son interpretacion.
Demieg quelas demostracions, la pròva per rearrenjament es una de las mai ancianas e de las mai intuitivas ; de formas pròchas apareissen dins las tradicions chinesa e indiana. Es basada sus la comparason entre dos biais d'emplir un mesme carrat emb quatre exemplars d'un mesme triangle rectangle que son ipotenusa a una longor notada c e sos dos autres costats de longors respectivament egalas a a e b. Se considera un carrat que son costat es la soma a + b daus dos costats de l'angle drech. Es possible de l'emplir de dos biais emb los quatre triangles. Dins la prumiera disposicion, l'aira non cuberta per los triangles forma dos carrats, d'airas a² e b². Dins la segonda, forma un carrat unic bastit sus l'ipotenusa, d'aira c². Coma lo grand carrat e los quatre triangles son identics dins los dos cas, las airas restantas son egalas e a² + b² = c².
D'autras demostracions marqueren l'istòria de las matematicas. La mai celebra es quela d'Euclides, expausada dins los Elements, qu'establís lo resultat a partir d'una comparason d'airas sens recórrer au rearrenjament. D'autras utilizen la semblança entre los triangles obtenguts en traçant la nautor eissida de l'angle drech. Quela apròcha es benleu lo metòde utilizat per los Grecs per demostrar la relacion durant l'Antiquitat.
Generalizacion
[modificar | modificar lo còdi]Lo teorema de Pitagòras admet mai d'un perlonjament que l'inscriven dins de quadres matematics mai larges. La prumiera generalizacion importanta regarda los triangles dins lo cas generau. Lo teorema d'Al-Kashi o lei daus cosinus permet de reliar los angles e las longors daus tres costats dau triangle. Lo carrat dau costat opausat a un angle es egau a la soma daus carrats daus dos autres costats demenida dau doble de lor produch multiplicat per lo cosinus d'aquel angle. Lo teorema de Pitagòras es un cas particular, emb un angle drech, de quela relacion[13].
Los triplets pitagoricians son un autre perlonjament important, dins lo domeni de l'aritmetica. Son d'ensembles de tres entiers naturaus que verifican la relacion dau teorema. Lor estudi fai partida de la teoria daus nombres. Es una brancha anciana de las matematicas coma l'illustra la tauleta Plimpton 322[14]. Fuguet a l'origina de las cherchas sus lo teorema de Fermat.
Enfin, lo teorema es a la basa de la nocion de distància en geometria moderna. Dins un plan munit d'un sistema de coordenadas, la distància entre dos punts s'exprimís au mejan dau teorema de Pitagòras, a partir de las diferéncias entre las coordenadas. Quela formula se generaliza dins d'espacis de dimension n e permet de definir la distància euclidiana, centrala en geometria analitica emb d'aplicacions variadas en matematicas e en fisica.
Aplicacions
[modificar | modificar lo còdi]Lo teorema de Pitagòras a d'aplicacions practicadas variadas, sovent liadas a de calculs de longor o a la verificacion d'un angle drech. Dins lo domeni de la construccion e de l'arpentatge, permet de traçar e de contrarotlar d'angles drechs a partir de mesuras simplas, un usatge atestat dempuei l'Antiquitat. Quò permet tanben de calcular de longors inaccessiblas a de mesuras directas. Per exemple, a partir de la posicion d'una eschala, permet de calcular la nautor d'un paret. Lo teorema interven dins lo calcul de distància dins un espaci dotat d'un sistema de coordenadas. D'efiech, dins un tau espaci, la distància pòt esser calculada emb lo teorema, çò qu'es fòrça interessant per los navigators e los topografes.
Annexas
[modificar | modificar lo còdi]Liams internes
[modificar | modificar lo còdi]Bibliografia
[modificar | modificar lo còdi]Nòtas e referéncias
[modificar | modificar lo còdi]- ↑ (en) Eleanor Robson, « Words and pictures: new light on Plimpton 322 », Amer. Math. Month., vol. 109, n° 2, 2002, pp. 105-120.
- ↑ (en) Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, Copenaga, Munksgaard, 1951.
- ↑ (en) Daniel F. Mansfield, « Plimpton 322: A Study of Rectangles », Foundations of Science, vol. 26, n° 4, decembre de 2021, pp. 977–1005.
- ↑ (en) Eli Maor, The Pythagorean Theorem : A 4,000-Year History, Princeton, Princeton University Press, 2007, pp. 14-15.
- ↑ (en) Corinna Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2007, pp. 154-156.
- ↑ (en) A. Seidenberg, « The geometry of the Vedic ritual », dins F. Staal, Agni, the Vedic ritual of the fire altar, vol. 2, Berkeley, Asian Humanities Press, 1983, pp. 95-126.
- ↑ (fr) Bernard Vitrac (int. Maurice Caveing), « Sur Pythagore et le « théorème de Pythagore », Euclide Les Éléments Volume 1. Introduction générale. Livres I à IV, Presses Universitaires de France, 1990, pp. 311-321.
- ↑ (en) Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer, 2006, p. 13.
- ↑ La datacion dau Zhoubi Suanjing es discutida que la formulacion d'una partida dau còrpus suggerís una origina anciana (au mens lo Periòde daus Reiausmes Combatents), mas la mencion mai vielha de l'obratge es ben mai tardiva (178 apC).
- ↑ (en) Proclus (trad. Glenn R. Morrow), A Commentary of the First Book of Euclid's Elements, Princeton University Press, 1970, 428.6.
- ↑ Per exemple, es necessari per demostrar lo teorema de las doas lunulas descubert per Ipocrates de Quios durant lo segle V avC (Roshdi Rashed, Les Mathématiques infinitésimales du IXe аu XIe siècle : Ibn al-Haytham, vol. II, Londres, Al-Furqân Islamic Heritage Foundation, 1993, p. 30).
- ↑ (de) Mario Gerwig, Der Satz des Pythagoras in 365 Beweisen. Mathematische, kulturgeschichtliche und didaktische Überlegungen zum vielleicht berühmtesten Theorem der Mathematik, Heidelberg, Springer, 2021.
- ↑ (fr) Maurice Mashaal, « Les mathématiques », dins Philippe de la Cotardière (dir.), Histoire des sciences. De l'Antiquité à nos jours, París, Éditions Tallandier, colleccion « Texto », 2022, pp. 48-49.
- ↑ (en) Ernest Eckert, « Primitive Pythagorean triples », The College Mathematics Journal, vol. 23, n° 5, 1992, pp. 413-427.