行列解析

プロジェクト数学

ポータル数学

行列解析（ぎょうれつかいせき、英: Matrix analysis）は線型代数学の分科であり、行列の数学的構造と解析的性質に焦点を当てて、ベクトルノルムや行列ノルムなどを導入して、連立方程式・固有値問題・行列値関数・行列の分解などに関する理解を深めることを目的としている。これにより、数値線形代数などのより深い議論につながる^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]。

主題

行列解析では主に以下のテーマが扱われる^[1]^[2]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]。

行列における関数解析学（関数解析的方法による行列論）
行列の成分・絶対値・ノルムに関する不等式またはそれに類する関係
行列の固有値変動、摂動問題
行列の算術平均・幾何平均・算術幾何平均^[9]^[10]^[11]^[12]

意義

→「作用素論」も参照

関数解析（特に作用素論）では、無限次元のヒルベルト空間やバナッハ空間上の作用素が研究対象なので、有限次元の場合は自明だと思うかもしれないがそうではない。なぜならば作用素論における困難さは無限次元性だけではなく非可換性から来ることもあるからである（実際、作用素論の話題は行列に制限しても難易度が変わらないということが少なからずある^[13]^[14]^[15]）。そして行列は非可換性を持つ作用素の代表例である。行列解析は非可換性による困難さを克服しようとしている^[1]^[2]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]。

代表的な成果

Andoによる行列版ヤングの不等式^[16]
Lidskiiの定理^[7]^[17]
作用素凸関数に関するLownerの理論^[7]
Hansen-Pedersenの方法^[7]^[18]^[19]

出典

[脚注の使い方]

1 2 3 山本哲朗. (2010). 行列解析の基礎–Advanced 線形代数, SGC ライブラリ 79. サイエンス社.
1 2 3 山本哲朗. (2013). 行列解析ノート: 珠玉の定理と精選問題. サイエンス社.
↑ 日合文雄：「行列解析とその応用」、サイエンス社（SGCライブラリ200)、ISBN 978-4-7819-1637-8 (2025年5月25日)。
1 2 3 Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix analysis. en:Cambridge university press.
1 2 3 Bellman, R. (1997). Introduction to matrix analysis. SIAM.
1 2 3 Meyer, C. D. (2000). Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM.
1 2 3 4 5 6 Bhatia, R. (2013). Matrix analysis. en:Springer Science & Business Media.
1 2 3 Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Thomas S. Shores, Undergraduate Texts in Mathematics (2018). Springer International Publishing.
↑ Kittaneh, F. (1992). A note on the arithmetic-geometric-mean inequality for matrices. en:Linear Algebra and its Applications, 171, 1-8.
↑ Bhatia, R., & Kittaneh, F. (2000). Notes on matrix arithmetic–geometric mean inequalities. en:Linear Algebra and Its Applications, 308(1-3), 203-211.
↑ Bhatia, R., & Davis, C. (1993). More matrix forms of the arithmetic-geometric mean inequality. en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14(1), 132-136.
↑ Cardoso, J. R., & Ralha, R. (2016). Matrix arithmetic-geometric mean and the computation of the logarithm. en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 37(2), 719-743.
↑ Simon, B. (2015). Operator theory. American Mathematical Society.
↑ Alpay, D., Cipriani, F., Colombo, F., Guido, D., Sabadini, I., & Sauvageot, J. L. (2016). Noncommutative analysis, operator theory and applications. Springer International Publishing.
↑ Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.
↑ Ando, T. (1995). Matrix young inequalities. In Operator theory in function spaces and Banach lattices (pp. 33-38). Birkhäuser Basel.
↑ Lewis, A. S. (2000). Lidskii's theorem via nonsmooth analysis. en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 21(2), 379-381.
↑ F. Hansen, G.K. Pedersen, Jensen’s inequality for operators and Loewner’s theorem, Math. Ann. 258 (1982) 229–241.
↑ F. Hansen, G.K. Pedersen, Jensen’s operator inequality, Bull. London Math. Soc. 35 (2003) 553–564.

参考文献

R. Bhatia, Perturbation Bounds for Matrix Eigenvalues, Pitman Res. Notes in Math. Ser. 162, Longman, 1987.
朝倉数学大系 7, 境界値問題と行列解析 (2014). 山本哲朗, 朝倉書店.

外部リンク

日合文雄、「書評」『数学』 1999年 51巻 4号 p.429-440, doi:10.11429/sugaku1947.51.429, 日本数学会

この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

この項目は、線型代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。

[y1-1] 1 2 3 山本哲朗. (2010). 行列解析の基礎–Advanced 線形代数, SGC ライブラリ 79. サイエンス社.

[note-2] 1 2 3 山本哲朗. (2013). 行列解析ノート: 珠玉の定理と精選問題. サイエンス社.

[3] 日合文雄：「行列解析とその応用」、サイエンス社（SGCライブラリ200)、ISBN 978-4-7819-1637-8 (2025年5月25日)。

[hj-4] 1 2 3 Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2012). Matrix analysis. en:Cambridge university press.

[bell-5] 1 2 3 Bellman, R. (1997). Introduction to matrix analysis. SIAM.

[app-6] 1 2 3 Meyer, C. D. (2000). Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM.

[gtm-7] 1 2 3 4 5 6 Bhatia, R. (2013). Matrix analysis. en:Springer Science & Business Media.

[app2-8] 1 2 3 Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Thomas S. Shores, Undergraduate Texts in Mathematics (2018). Springer International Publishing.

[9] Kittaneh, F. (1992). A note on the arithmetic-geometric-mean inequality for matrices. en:Linear Algebra and its Applications, 171, 1-8.

[10] Bhatia, R., & Kittaneh, F. (2000). Notes on matrix arithmetic–geometric mean inequalities. en:Linear Algebra and Its Applications, 308(1-3), 203-211.

[11] Bhatia, R., & Davis, C. (1993). More matrix forms of the arithmetic-geometric mean inequality. en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 14(1), 132-136.

[12] Cardoso, J. R., & Ralha, R. (2016). Matrix arithmetic-geometric mean and the computation of the logarithm. en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 37(2), 719-743.

[13] Simon, B. (2015). Operator theory. American Mathematical Society.

[14] Alpay, D., Cipriani, F., Colombo, F., Guido, D., Sabadini, I., & Sauvageot, J. L. (2016). Noncommutative analysis, operator theory and applications. Springer International Publishing.

[15] Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438.

[16] Ando, T. (1995). Matrix young inequalities. In Operator theory in function spaces and Banach lattices (pp. 33-38). Birkhäuser Basel.

[17] Lewis, A. S. (2000). Lidskii's theorem via nonsmooth analysis. en:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 21(2), 379-381.

[18] F. Hansen, G.K. Pedersen, Jensen’s inequality for operators and Loewner’s theorem, Math. Ann. 258 (1982) 229–241.

[19] F. Hansen, G.K. Pedersen, Jensen’s operator inequality, Bull. London Math. Soc. 35 (2003) 553–564.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

表話編歴数学
主要分野	数理論理学集合論圏論代数学初等線型多重線型抽象算術/数論解析学/微分積分学関数解析学行列解析幾何学代数微分有限離散位相代数的位相表現論リー理論（英語版）微分方程式線型微分方程式複素微分方程式常微分方程式偏微分方程式積分微分方程式力学系組合せ数学数理物理学ゲーム理論グラフ理論最適化問題数理最適化計算理論確率論数理統計学（英語版）制御理論三角法
トピックス	数学史和算算道数理哲学美未解決問題算数・数学教育算数教科
主要賞	ド・モルガン・メダルコール賞フィールズ賞スティール賞ウルフ賞ショウ賞アーベル賞数学ブレイクスルー賞ヨーロッパ数学会賞クレイ研究賞
応用	情報理論折紙の数学囲碁と数学数値解析精度保証付き数値計算計算機援用証明数値線形代数常微分方程式の数値解法偏微分方程式の数値解法
学会・団体	国際数学者会議国際数学連合国際産業数理・応用数理会議国際産業数理・応用数理評議会（英語版）アメリカ数学会 SIAM ヨーロッパ数学会ロンドン数学会日本応用数理学会日本数学会数学教育協議会
競技	国際数学オリンピック日本数学オリンピック日本ジュニア数学オリンピック広中杯近畿大学数学コンテスト人の最大の力を競う算数・数学の大会
研究所	京都大学数理解析研究所明治大学先端数理科学インスティテュート統計数理研究所アンリ・ポアンカレ研究所オーバーヴォルファッハ数学研究所クレイ研究所 CIMAT数学研究センターステクロフ数学研究所
一覧数学定数数関数図形数学記号数学者エポニムカテゴリポータル

主題

意義

代表的な成果

関連する論文誌

出典

参考文献

外部リンク