Lemme de Yoneda

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, le lemme de Yoneda est un théorème de plongement d'une catégorie ${\mathcal {C}}$ localement petite dans une catégorie de foncteurs. Les objets de ${\mathcal {C}}$ sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de ${\mathcal {C}}$ à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs.

Il s'agit d'une généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet). Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques (en), qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Le lemme de Yoneda exprime le fait que deux objets $X$ et $Y$ sont isomorphes si (et seulement si) ils ont les mêmes relations (i.e. les mêmes ensembles de morphismes) avec tous les autres objets de la catégorie.

Histoire

Le lemme est attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda. Yoshiki Kinoshita a dit en 1996 que le lemme s'appelle "lemme de Yoneda" selon le mathématicien Saunders Mac Lane dans une interview avec Yoneda à la Gare du Nord station.

Énoncé

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, la classe des morphismes de A dans X est un ensemble. Il y a deux versions du lemme de Yoneda.

• Un objet A de ${\mathcal {C}}$ définit un foncteur Hom covariant h^A de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Ens des ensembles par :$X\mapsto h^{A}(X)=\mathrm {Hom} _{C}(A,X),$$f\mapsto h^{A}(f)=(g\mapsto f\circ g).$De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h^– de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Fun(${\mathcal {C}}$, Ens) des foncteurs covariants de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie ${\mathcal {C}}$ induit une transformation naturelle de h^B dans h^A. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de h^B dans h^A est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de h^A dans n'importe quel foncteur de ${\mathcal {C}}$ dans Ens.
  Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant h^– est pleinement fidèle ; la catégorie duale ${\mathcal {C}}$^op se trouve ainsi plongée dans Fun(${\mathcal {C}}$, Ens).
• En remplaçant ${\mathcal {C}}$ par ${\mathcal {C}}$^op, on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant h_– : A ↦ h_A = Hom_{${\mathcal {C}}$}(–, A), de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie de préfaisceaux Fun(${\mathcal {C}}$^op, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Ce foncteur h_–, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Fun(${\mathcal {C}}$^op, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète, c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de ${\mathcal {C}}$.

Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

Lemme de Yoneda — Pour tout objet $A$ de ${\mathcal {C}}$, toute transformation naturelle $\psi$ de $h^{A}$ sur un foncteur $T:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Ens}$ est uniquement déterminée par l'élément de $T(A)$ défini comme l'image de $\mathrm {id} _{A}\!\in h^{A}(A)$ par $\psi (A)$. Plus précisément, on dispose d'une bijection :

${\begin{aligned}\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},T\,\right)&\,{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\,T(A)\\\psi &\longmapsto \!\psi (A)\!\left(\,\mathrm {id} _{A}\,\right).\end{aligned}}$

En particulier, pour tous objets $A$ et $B$ de ${\mathcal {C}}$, on a :

$\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},h^{B}\,\right)\simeq h^{B}(A)=\mathrm {Hom} _{\,{\mathcal {C}}}(B,A).$

Démonstration

Injectivité

Avec les notations ci-dessus, considérons $\psi$ une transformation naturelle de h^A sur T. Pour tout élément $f$ dans $h^{A}(B)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$, on a :

$f=h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\,$

En appliquant à cette identité l'application ensembliste $\psi (B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)$, on obtient :

$\psi (B)(f)=\psi (B)\left[h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\right]=T(f)\left[\psi (A)(\mathrm {id} _{A})\right]$

où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément $\psi (B)(f)$ est donc l'image de $\psi (A)(\mathrm {id} _{A})$ par $T(f)$. De fait, en faisant varier f, on montre que $\psi$ est uniquement déterminé par $\psi (A)(\mathrm {id} _{A})$. L'application énoncée est injective.

Surjectivité

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :

$\psi _{v}(B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)\,$ $f\mapsto T(f)(v)$

Vérifions que $\psi _{v}$ est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : B → C et pour tout élément f de h^A(B), on est en mesure d'écrire :

$T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi _{v}(C)(g.f)$

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par h^A(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :

$T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=\psi _{v}(C)\left[h^{A}(g)(f)\right]$

En faisant varier f :

$T(g)\circ \psi _{v}(B)=\psi _{v}(C)\circ h^{A}(g)$

Cela étant vérifié pour toute flèche g, $\psi _{v}$ est bien une transformation naturelle de h^A sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

Articles connexes

Théorème de représentabilité de Brown (en)