Foncteur représentable

En théorie des catégories, un domaine des mathématiques, un foncteur représentable est un certain foncteur d'une catégorie dans la catégorie des ensembles.

On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple^[pas clair].

Définition

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie des ensembles Ens. On dit que F est représentable s'il existe un objet X de ${\mathcal {C}}$ tel que F soit isomorphe au foncteur ${\hat {X}}=Hom(.,X):Y\mapsto Hom(Y,X)$, respectivement au foncteur $Hom(X,.):Y\mapsto Hom(X,Y)$.

Lemme de Yoneda

Les transformations naturelles de ${\hat {X}}$ dans F correspondent bijectivement aux éléments de $F(X)$.

Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par $(X,\zeta )$ (où $\zeta$ est un élément de F(X)) lorsque ${\hat {\zeta }}:{\hat {X}}\rightarrow F$ est un isomorphisme de foncteur.

Foncteurs covariants représentables

• Somme

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie, A et B deux objets de ${\mathcal {C}}$. On considère le foncteur de ${\mathcal {C}}$ dans Ens qui à X associe $Hom(A,X)\times Hom(B,X)$. Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.

• Module libre, groupe libre, groupe abélien libre, monoïde libre, polynômes.

Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre) qui à un A-module $F$ (respectivement toute la ribambelle) associe $F^{I}$ est représentable. On obtient le A-module libre $A^{(I)}$, respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif $A^{(I)}$, le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminées.

• Complété

Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espaces métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.

• Compactifié de Stone-Čech

Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.

• Produit tensoriel

Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de $E\times F$ dans G.

Foncteurs contravariants représentables

• Produit

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie, A et B deux objets de ${\mathcal {C}}$. On considère le foncteur de ${\mathcal {C}}$ dans Ens qui à X associe $Hom(X,A)\times Hom(X,B)$. Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle du produit.

• Topologie induite

Soit X un espace topologique et Y une partie de X. La topologie induite par X sur Y muni de l'injection canonique représente le foncteur de Top dans Ens qui à A associe l'ensemble des applications continues de A dans X dont l'image est incluse dans Y.

• Topologie compacte-ouverte

Soit X un espace topologique localement compact et Y un espace topologique. Le foncteur $T\mapsto Hom_{Top}(T\times X,Y)$ est représenté par l'espace des fonctions continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte.

Référence

Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]