垂直

AB 同 CD 成垂直，是謂 AB ⟂ CD 。

幾何學上講嘅垂直（粵音：seoi4 zik6 ）係指一種情況：兩條直線相交，相交嘅角度啱啱好係 90° 直角，佢哋就謂之彼此成垂直。喺數學符號上，垂直會用 ⟂ 呢個符號嚟表示，例如若果 L₁ 同 L₂ 兩條線成垂直，就會寫成

$L_{1}\perp L_{2}$

噉嘅樣。

基本概念

内文：直線同直角

睇埋：點積

喺笛卡兒坐標系統入便，設兩條直線 L₁ 同 L₂，兩者分別由以下嘅方程表示：

$L_{1}:y=ax+b$

$L_{2}:y=cx+d$

喺呢個平面中，兩條線唔係鉛垂嘅，即係斜率並非無限大 ∞ ；設兩條線嘅斜率係 a 同 c ，若且唯若 a 同 c 乘埋一齊等於 -1 ，噉呢兩條線先算係互相垂直。

如果其中一條線係鉛垂嘅話，佢條式望落會係：

$L_{3}:x=k$，當中 k 為某個常數。

噉另一條線就一定要係水平，即係斜率等於 0 ，噉佢哋先至會係互相垂直。

如果兩條直線嘅式係用一般式（general form）嚟表示：

$L_{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

$L_{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

噉就只有一種情況：若且唯若 a₁ a₂ + b₁ b₂ = 0，兩條線先算係喺呢個平面中互相垂直。

喺線性代數裡便，點積可以攞嚟衡量兩個向量之間有幾「一致」。設依家要計 $\mathbf {u}$ 同埋 $\mathbf {v}$ 呢兩個向量嘅點積，個結果反映佢哋之間嘅關係：如果兩個向量指向相近方向，點積會係正數；如果佢哋指向相反方向，點積會係負數；若果兩個向量呈垂直，佢哋嘅點積就會係 0 。喺歐幾里得空間裡便，點積條式係噉：

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(\theta )$

當中 θ 係兩者之間嗰隻夾角。如果兩個向量彼此成垂直，θ 等如 90 度，而 cosθ 則會係 0 。

推理應用

睇埋：畢氏定理

Input：睇住邊隻角係直角，邊條線係直線，邊條直線係某圓形或橢圓嘅切線，可以得知邊啲線之間成垂直。
Output：知道咗邊啲線之間成垂直，可以得知例如邊啲三角形係直角三角形或者邊啲係相似三角形，知道咗呢啲資訊，就得知邊度用得畢氏定理嚟計長度。

做幾何學計算嗰陣，垂直係一樣有用嘅資訊，知道咗邊幾條線彼此成垂直，就可以計到好多嘢，諸如長度同角度等嘅資訊，都可以用噉嘅方法嚟計。

順帶一提，呢類噉嘅推理喺香港中學文憑試等嘅考試當中都成日考。

好似係下圖噉：

根據幅圖入面嘅綠色直角標記，解題者可以識別出：

• 喺 O' 嗰點，直線 $\epsilon \perp y'$。
• 喺 O' 嗰點，直線 $x'\perp \delta$。
• 由點 O' 向下延伸嘅虛線，垂直於水平底線 yz。
• 由點 O' 向斜線 x 延伸嘅虛線，亦都垂直於直線 x。呢條虛線嘅長度代表咗點 O' 到直線 x 嘅最短距離。

假設上述呢四點係已知，再加上某啲點嘅位置都係已知，可以計到好多幾何上重要嘅值：

• 用畢氏定理計長度：圖中存在多個直角三角形，所以畢氏定理用得，譬如若果已知 O' 嘅垂直高度，即係 O' 到 yz 嗰條虛線嘅長度，加上 O 嘅水平位移，就可以計出 O 同 O' 之間嘅直線距離。
• 用相似三角形計角度：圖中有多組角度可能相等，例如因為 $x'\perp \delta$，有可能推斷出邊啲三角形之間成相似嘅關係，從而得知例如 φ、ω 等嘅角彼此之間係咪相等。

尺規作圖

即使係齋靠間尺同圓規，唔洗用到量角器，都可以畫到垂直嘅線。設想依家有一點叫 P 同埋一條直線叫 AB，要畫出一條經過 P 並且垂直於 AB 嘅線，可以跟以下嘅步驟嚟做：

• 步驟一，紅色曲線：攞住個圓規，以點 P 為圓心畫一個圓形，令個圓形同直線 AB 相交於點 A' 同 B'。由於佢哋係同一個圓形嘅半徑，所以點 A' 及 B' 同點 P 係等距嘅 PA' = PB' 。
• 步驟二，綠色曲線：攞住個圓規，分別以點 A' 同 B' 為圓心，以 PA' 同 PB' 為半徑畫圓形，無需成個圓形畫晒，重點係要令到呢兩個圓形除咗點 P 之外有咗另一個交點做 Q。
• 步驟三，藍色直線：攞住把間尺，連接點 P 同點 Q，呢條直線 PQ 就係求緊嗰條垂直線。

即係好似下圖噉：

要證明直線 PQ 真係同直線 AB 垂直，會用到全等三角形嘅諗頭。靠住全等三角形三條邊全等嘅定理，足以證明三角形 QPA' 同 QPB' 全等，跟住求得三角形 OPA' 同 OPB' 亦都全等，然後使用三角形邊角邊全等嘅定理，能夠證明 ∠POA 同 ∠POB 呢兩隻角相等。

睇埋

• 平行
• 斜率
• 高度
• 切線
• 直角三角形

引述

引用咗嘅文獻：

• Altshiller-Court, Nathan (1952) [1st ed. 1925], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (第2版), New York: Barnes & Noble
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69-12075

外拎

• （粵文）（香港繁體）DSE 數學｜熱門題目｜Perpendicular lines 垂直線，YouTube 影片講香港中學文憑試入便點樣解垂直線相關嘅數學題。
• （英文）垂直，呢個網頁有互動性質嘅架生，確實噉展示垂直嘅概念。