Gradient

Gradiênt je v matematiki diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom $\nabla \!\,$ ali $\mathbf {\vec {\nabla }} \!\,$ (nabla).

Gradient skalarnega polja

Kartezični koordinatni sistem

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se gradient zapiše kot:

$\mathbf {\vec {\nabla }} f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}\!\,.$

Pri tem je $f(\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja $\mathbf {\vec {r}} =(x,y,z)\!\,$, oznake $\partial \!\,$ pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.

Valjni koordinatni sistem

V valjnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja $f(\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ izraža kot:

$\mathbf {\vec {\nabla }} f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {\hat {e}} _{z}\!\,.$

Pri tem je $\mathbf {\vec {r}} =(r,\varphi ,z)\!\,$ krajevni vektor, izražen v valjnem koordinatnem sistemu, $\mathbf {\hat {e}} _{r}\!\,$, $\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\!\,$ in $\mathbf {\hat {e}} _{z}\!\,$ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Krogelni koordinatni sistem

V krogelnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja $f(\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ izraža kot:

$\mathbf {\vec {\nabla }} f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\!\,.$

Pri tem je $\mathbf {\vec {r}} =(r,\theta ,\varphi )\!\,$ krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, $\mathbf {\hat {e}} _{r}\!\,$, $\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\!\,$ in $\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\!\,$ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Glej tudi

• vektorska analiza
• divergenca, rotor

Viri

• Kuščer, Ivan; Kodre, Alojz (1994), Matematika v fiziki in tehniki, Ljubljana: DMFA, str. 56–62, COBISS 41287936, ISBN 961-212-033-1