Gradiente

No cálculo vectorial, o gradiente $\nabla f$ dun campo escalar $f$ é un campo vectorial. O vector gradiente de $f$ dun punto xenérico $x$ do dominio de $f$, $\nabla f$($x$), indica a dirección na cal o campo $f$ varía máis rapidamente e o seu módulo representa o ritmo de variación de $f$ na dirección de dito vector gradiente. O gradiente represéntase co operador diferencial nabla $\nabla$ seguido da función (non confundir o gradiente coa diverxencia, pois esta última denótase cun punto de produto escalar entre o operador nabla e o campo). Tamén pode representarse mediante ${\vec {\nabla }}f$, ou usando a notación $\operatorname {grad} (f)$. A xeneralización do concepto de gradiente a campos $f$ vectoriais é o concepto de matriz xacobiana.

Se se toma como campo escalar un ao que se lle asigna a cada punto do espazo unha presión P (campo escalar de 3 variables), entón o vector gradiente nun punto xenérico do espazo indica a dirección na cal a presión muda máis rapidamente. Outro exemplo é o de considerar un mapa con liñas de nivel como campo escalar ao que lle asigna a cada parella de coordenadas latitude/lonxitude un escalar altitude (campo escalar de 2 variables). Neste caso o vector gradiente nun punto xenérico indica a dirección de máxima inclinación da superficie. Nótese que o vector gradiente será perpendicular ás liñas de contorno (liñas "equiescalares") do mapa.

Definición

O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é:

${\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {r} )=\left({\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{n}}}\right)$

Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector:

${\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi (\mathbf {r} -\epsilon {\hat {\mathbf {n} }})-\phi (\mathbf {r} )}{\epsilon }}$

Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar:

${\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi$

Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operador nabla, é dicir:

${\rm {grad}}\ \phi =\nabla \phi$

Interpretación do gradiente

De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x,y), (x,y,z), (tempo, temperatura) etcétera. Algúns exemplos son:

• Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto $(x,y,z)\,\!$, a temperatura é $\phi (x,y,z)\,\!$. Asumiremos que a temperatura non varía con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
• Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x,y) se define como H(x, y). O gradiente de H nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra a pendente.

Propiedades

• É ortogonal ás superficies equiescalares, definidas por $\phi \,\!$ =cte.
• Apunta no sentido en que a derivada direccional é máxima.
• O seu módulo é igual a esta derivada direccional máxima.
• Anúlase nos puntos estacionarios (máximos, mínimos e puntos cadeira).
• O campo formado polo gradiente en cada punto é sempre irrotacional, isto é,

$\nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}$

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}$

Nun sistema de coordenadas ortogonais, o gradiente require os factores de escala, mediante a expresión

$\nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}$

Para coordenadas cilíndricas ($h_{\rho }=h_{z}=1$, $h_{\varphi }=\rho$) resulta

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}$

e para coordenadas esféricas ($h_{r}=1$, $h_{\theta }=r$, $h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta$)

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}$

Nun sistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma:

$\nabla \phi =g^{ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}{\hat {e}}_{j}$

onde na expresión anterior se usou o convenio de sumación de Einstein.

Gradiente dun campo vectorial

Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente de $\scriptstyle \mathbf {F}$ un tensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento:

${\frac {d\mathbf {F} }{d\mathbf {r} }}(\mathbf {v} ):=\lim _{\mathbf {v} \to 0}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} +\mathbf {v} )-\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{\|\mathbf {v} \|}}=(\nabla \mathbf {F} )\cdot \mathbf {v}$

Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todo $\scriptstyle \mathbf {v}$ e é unha función continua de dito vector.

Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que a matriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas.

Exemplo

Dada a función $f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$, o seu vector gradiente é:

$\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.$

Aplicacións

Aproximación linear dunha función

O gradiente dunha función $f$ definida de Rⁿ → R caracteriza a mellor aproximación linear da función nun punto particular $x_{0}$ en Rⁿ. Exprésase así:

$g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})$ onde $\nabla _{x}f(x_{0})$ é o gradiente fixado en $x_{0}$

Aplicacións en física

A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunha magnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.

O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente en electromagnetismo e mecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dun potencial escalar.

• Un deles é o campo electrostático, que deriva do potencial eléctrico:

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi$

• Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como:

$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V$

• Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican a lei de Fick ou a lei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas

$\mathbf {q} =-k{\boldsymbol {\nabla }}T$

sendo $\scriptstyle k$ a condutividade térmica.