Espaço métrico

Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde a distância entre quaisquer dois de seus elementos é definida por uma função chamada métrica. A métrica permite que a noção de continuidade seja estendida para funções entre espaços métricos. Os espaços métricos são exemplos de uma classe mais abrangente de espaços, chamados espaços topológicos.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Definição

Seja $X$ um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre $X$ é uma função $d:X\times X\to \mathbb {R}$ que associa um par $(x,y)\in X\times X$ ao número $d(x,y)$, chamado de distância entre $x$ e $y$, de modo que para quaisquer $x,y,z\in X$ valem:

1. $d(x,y)=0\iff x=y$;
2. Se $x\neq y$, então, $d(x,y)>0$ (positividade);
3. $d(x,y)=d(y,x)$ (simetria);
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdade triangular).

Um par $(X,d)$ em que $X$ é um conjunto e $d$ é uma métrica é chamado de espaço métrico.

De forma intuitiva, pode-se pensar no conjunto $X$ como um conjunto de locais ligados por um sistema de estradas. A distância entre dois pontos pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga dois desses locais. Deste modo, a simetria significa que neste sistema de estradas não deve haver estradas de mão única e a desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos.

Exemplos de Espaços Métricos

• O conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica $d(x,y)=|x-y|$
• $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}$, é o espaço de dimensão $n\,$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• $(\mathbb {R} ^{n},d)$, onde $d(x,y)=\max\{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|\}$ observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto $X$ com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
• $(X,d)\,$, onde $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto $A\subset X$de um espaço métrico $X$ é um espaço métrico, basta considerar a restrição $d|_{A\times A}\to \mathbb {R}$.
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio $[a,b]$ e contradomínio real. Então $d(f,g)=\max |f(x)-g(x)|\,$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Espaços vetoriais normados

Qualquer Espaço vetorial munido de uma norma $\lVert \cdot \rVert$ é um espaço métrico. Seja ${\mathsf {E}}$ um espaço vetorial. Uma norma em ${\mathsf {E}}$ é uma função | |: ${\mathsf {E}}$ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$, que associa cada vetor ${\boldsymbol {x}}$ $\in$ ${\mathsf {E}}$ o número real ||${\boldsymbol {x}}$|| chamada a norma de ${\boldsymbol {x}}$, de modo a serem cumpridas as condições abaixo para quaisquer ${\boldsymbol {x}}$, ${\boldsymbol {y}}$ $\in$ ${\mathsf {E}}$ e $\lambda$ escalar:

1. Se ${\boldsymbol {x}}$ $\neq$ 0 então ||${\boldsymbol {x}}$|| $\neq$ 0 ;
2. ||$\lambda$$\cdot$ ${\boldsymbol {x}}$|| = |$\lambda$| $\cdot$||${\boldsymbol {x}}$|| ;
3. || ${\boldsymbol {x}}$ + ${\boldsymbol {y}}$ || $\leq$ ||${\boldsymbol {x}}$|| + ||${\boldsymbol {y}}$||

Todo espaço vetorial normado (${\mathsf {E}}$, |$\cdot$ | ) torna-se um espaço métrico por meio da definição $d(x,y)=||x-y||$. Esta métrica diz-se proveniente da norma |$\cdot$| . As propriedades 1 a 4 das distâncias são válidas para distâncias(métricas) que provém de normas. Essas propriedades resultam imediatamente das propriedades da norma.

1. $d(x,y)=||x-y||=0\Leftrightarrow x=y$
2. Se $x\neq y$ então $d(x,y)=||x-y||>0$ pois $x\neq y$ $\Rightarrow 0=||(x-y)-(x-y)||\leq ||x-y||+||y-x||=2.||x-y||$ e $x\neq y\Rightarrow ||x-y||\neq 0$
3. $d(x,y)=||x-y||=|-1|.||y-x||=||y-x||=d(y,x)$
4. $d(x,z)=||x-z||=||x+y-y-z||\leq ||x-y||+||y-z||=d(x,y)+d(x,z)$

Topologia de um espaço métrico

Definição. Sejam $(X,d)$ um espaço métrico e $U\subset X$ um subconjunto, diz-se que $U$ é um subconjunto aberto de $X$ quando para todo elemento $x_{0}\in U$ existe algum $\epsilon >0$ tal que $x\in U$ sempre que $d(x,x_{0})<\epsilon$.

Uma classe importante de conjuntos abertos são as chamadas bolas abertas, para um ponto $x_{0}\in X$ e um número real $r>0$, chama-se bola aberta de centro $x_{0}$e raio $r$ o subconjunto $B(x_{0};r)=\{x\in X:d(x,x_{0})<r\}$. Pode-se mostrar que toda bola aberta é um subconjunto aberto e que todo subconjunto aberto pode ser escrito como a reunião de uma família (enumerável ou não) de bolas abertas.

A classe dos conjuntos abertos gozam das seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio $\varnothing$ e $X$ são subconjuntos abertos de $X$;
2. Se $\{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ é uma família indexada de subconjuntos abertos de $X$, então a reunião $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }$ é também um subconjunto aberto de $X$;
3. Se $U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}$são subconjuntos abertos de $X$, então a interseção $\bigcap _{k=1}^{n}U_{k}$ é também um subconjunto aberto de $X$.

As propriedades 1, 2 e 3 acima caracterizam a classe $\tau \subset {\mathcal {P}}(X)$ dos subconjuntos abertos de $X$ como uma topologia, chamada de topologia induzida pela métrica $d$, de modo que o par $(X,\tau )$ é um espaço topológico.

Conjuntos fechados

Definição. Um ponto $a$ que pertence a um subconjunto $A$ de um espaço métrico $M$ é dito um ponto aderente de $A$ quando, para todo $\varepsilon >0$, podemos encontrar $x\in A$ tal que $d(x,a)<\varepsilon$ .

O fecho(ou aderência) de um conjunto $A$ num espaço métrico $M$ é o conjunto ${\bar {A}}$ dos pontos de $M$ que são aderentes a $A$. Portanto, escrever $a\in {\bar {A}}$ é o mesmo que afirmar que o ponto $a$ é aderente a $A$ em $M$.

Diz-se que um conjunto $F\subset M$ é fechado no espaço métrico $M$ quando seu complementar $M-F$ é aberto em $M$. Podemos também definir um conjunto fechado como sendo um conjunto $F\subset M$ tal que $F={\bar {F}}$. Pode-se mostrar que essas definições são equivalentes.

Os subconjuntos fechados de um espaço métrico $M$ gozam das seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio $\varnothing$ e o espaço inteiro $M$ são fechados;
2. A reunião $F=F_{1}\cup ...\cup F_{n}$ de um número finito de subconjuntos fechados $F_{1},...,F_{n}\subset M$ é um subconjunto fechado de $M$.
3. A interseção $F=\bigcap F_{\lambda }$ de uma família qualquer $(F_{\lambda })_{\lambda \in L}$ (finita ou infinita) de subconjuntos fechados $F_{\lambda }\subset M$ é um subconjunto fechado de $M$.

Funções Contínuas

Definição. Sejam $M,N$ espaços métricos. Diz-se que a aplicação $f:M\longrightarrow N$ é contínua no ponto $a\in M$ quando, para todo $\varepsilon >0$ dado, é possível obter $\delta >0$ tal que $d(x,a)<\delta$ implica $d(f(x),f(a))<\varepsilon$ .

Diz-se que $f:M\longrightarrow N$ é contínua quando ela é contínua em todos os pontos $a\in M$ .

Equivalentemente, $f:M\longrightarrow N$ é contínua no ponto $a\in M$ quando, dada qualquer bola $B'=B(f(a),\varepsilon )$ de centro $f(a)$, pode-se encontrar uma bola $B=B(a,\delta )$ , de centro $a$, tal que $f(B)\subset B'$.

Exemplos.

1. Dada $f:M\longrightarrow N$, suponhamos que exista uma constante $c>0$ (chamada constante de Lipschitz) tal que $d(f(x),f(y))\leq c\cdot d(x,y)$ para quaisquer que sejam os $x,y\in M$. Dizemos então que $f$ é uma aplicação lipschitziana. Neste caso, $f$ é contínua. Com efeito, dado $\varepsilon >0$, tomemos $\delta =\varepsilon /c$. Então $d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(a))\leq c\cdot d(x,a)<c\cdot \varepsilon /c=\varepsilon$ .
2. Dado um $a\in M$ que seja ponto isolado de $M$ (isto é, um elemento $a$ de $M$ tal que existe $\varepsilon >0$ tal que $B(a,\varepsilon )=\{a\}$) , então toda aplicação $f:M\longrightarrow N$ é contínua no ponto $a$. Com efeito, dado $\varepsilon >0$, basta tomar $\delta >0$ tal que $B(a,\delta )=\{a\}$. Assim, $d(a,x)<\delta \Rightarrow d(f(a),f(x))=0<\varepsilon$.
3. Uma aplicação $f:M\longrightarrow N$ chama-se uma imersão isométrica quando $d(x,y)=d(f(x),f(y))$ para quaisquer $x,y\in M$. Neste caso, diz-se também que $f$ preserva distâncias. Note que dado $\varepsilon >0$ e $a\in M$ qualquer, se $d(x,a)<\delta$ com $\delta =\varepsilon$ então $d(f(x),f(a))=d(x,a)<\delta =\varepsilon$, implicando que $f$ é contínua.

Homeomorfismos

Sejam $M,N$ espaços métricos. Um homeomorfismo de $M$ sobre $N$ é uma bijeção contínua $f:M\longrightarrow N$ cuja inversa $f^{-1}:N\rightarrow M$ também é uma bijeção contínua. Neste caso, diz-se que $M$ e $N$ são homeomorfos. Ás vezes se usa a expressão "equivalência topológica" em vez de "homeomorfismo". Dois espaços métricos homeomorfos são indistinguíveis do ponto de vista da Topologia. Uma propriedade de que goza um espaço $M$ é chamada de uma propriedade topológica quando todo espaço homeomorfo a $M$ também goza de tal propriedade. As propriedades topológicas se distinguem das propriedades métricas de $M$ que são preservadas pelas isométricas .

Exemplos:

1. Seja $M$ um espaço vetorial normado. Para todo $a\in M$ e para todo número real $\lambda \neq 0$, a translação $t_{a}:M\rightarrow M$ e a homotetia $m_{\lambda }:M\rightarrow M$, definidas por $t_{a}(x)=x+a$ e $m_{\lambda }(x)=\lambda \cdot x$ são homeomorfismos de $M$ . De fato, sabemos que $t_{a}$ e $m_{\lambda }$ são contínuas. Além disso, possuem inversas: $(t_{a})^{-1}=t_{-a}$ e $(m_{\lambda })^{-1}=m_{\mu }$ (onde $\mu =1/\lambda$), as quais também são contínuas.
2. Duas bolas abertas $B(a;r)$ e $B(b;s)$ em $M$ são homeomorfas. Mais precisamente, a composta $\varphi =t_{b}\circ m_{s/r}\circ t_{-a}$ define um homeomorfismo $\varphi :M\rightarrow M$. Em especial, o homeomorfismo $\varphi$ é tal que $\varphi (B(a;r))=B(b;s)$.

Convergência

Diz-se que sequência $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ com elementos num espaço métrico $(X,d)$ converge para um elemento $x\in X$ se para qualquer $\epsilon >0$ existe um número natural $n_{0}=n_{0}(\epsilon )$ tal que $d(x,x_{n})<\epsilon$ para todo $n\in \mathbb {N}$ tal que $n>n_{0}$. Nessa ocasião, $x$ é o único elemento do espaço métrico com esta propriedade, e é chamado de limite da sequência, e escreve-se $\lim _{n\to +\infty }x_{n}=x$ ou $x_{n}\to x$.

Uma sequência $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ com elementos num espaço métrico $(X,d)$ é de Cauchy ou satisfaz o critério de Cauchy quando para todo $\epsilon >0$ pode-se encontrar um número natural $n_{0}=n_{0}(\epsilon )$ de modo que $d(x_{n},x_{m})<\epsilon$ para quaisquer números naturais $m,n>n_{0}$. Pode se mostrar que toda sequência convergente é de Cauchy, e um espaço métrico em que critério de Cauchy é suficiente para convergência é chamado de espaço métrico completo. Exemplos de espaços métricos completos incluem $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ e qualquer Espaço vetorial normado de dimensão finita.

Referências

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9