Metrinen avaruus

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä

Metrinen avaruus on pari $(X,d)$, missä $X$ on joukko ja $d:X\times X\to \mathbb {R}$ kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon $X$ alkioilla $x$, $y$ ja $z$ toteuttaa ehdot

1. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö),
2. $d(x,y)=d(y,x)\,\!$,
3. $d(x,x)=0$, ja
4. $d(x,y)=0\,\!\implies x=y$.

Ehdoista seuraa $d(x,y)\geq 0$, sillä $0=d(x,x)\leq$ (1) $d(x,y)+d(y,x)=$ (2) $d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)$.

Kun $d$ toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka.

Metristä avaruutta $(X,d)$ kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi $X$, jos käytössä oleva metriikka $d$ on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden $X$ alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua $d(x,y)$ pisteiden $x$ ja $y$ väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä

• Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa $X$ voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä $d(x,y)=0$ jos $x=y$ ja $d(x,y)=1$ muutoin.
• Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan $d(x,y)=|x-y|$.
• Jokaisessa joukossa $\mathbb {R} ^{n}$ tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,$ ja $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,$ välinen etäisyys on

${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}$

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

• Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos $(X,||\cdot ||)$ on normiavaruus, niin funktio $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ,d(x,y)=||x-y||$ määrää metriikan joukkoon X.
• Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä

Kuulat ja pallot

Olkoon $(X,d)$ metrinen avaruus, $x\in X$ ja $r\in \mathbb {R} _{+}=\{y\in \mathbb {R} :y>0\}$. Tällöin joukkoa

$B(x,r)=\{y\in X:d(y,x)<r\}$

kutsutaan avaruuden $X$ $x$-keskiseksi $r$-säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen, $B(x,r)$ on niiden pisteiden $y\in X$ joukko, joiden etäisyys pisteestä $x$ on aidosti pienempi kuin $r$. Joukkoa $B(x,r)$ kutsutaan myös pisteen $x$ kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

${\overline {B}}(x,r)=\{y\in X:d(y,x)\leq r\}$

ja

$S(x,r)=\{y\in X:d(y,x)=r\},$

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden $X$ metriikasta $d$, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä $B_{d}(x,r)$.

Avoin ja suljettu joukko

Avaruuden $(X,d)$ osajoukko $U\subseteq X$ on avoin, jos jokaisella pisteellä $x\in U$ on kuulaympäristö $B(x,r)$ siten, että $B(x,r)\subseteq U$. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään $X$:n topologian, ns. tavallisen topologian ${\mathcal {T}}_{d}$; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden $(X,{\mathcal {T}})$ topologiaa ${\mathcal {T}}$ metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin $X$:n metriikka $d$ siten, että ${\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{d}$.

Joukko $F\subseteq X$ on suljettu, jos sen komplementti $\complement F$ on avoin. Joukko $A\subseteq X$ voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko

Metrisen avaruuden $(X,d)$ osajoukkoa $A\subseteq X$ sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde $r\in \mathbb {R} _{+}$, että $d(x,y)<r$ kaikilla $x,y\in A$. Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.

Pisteen etäisyys joukosta

Metrisen avaruuden pisteen $x\in X$ etäisyys joukosta $A\subseteq X$ on lyhin etäisyys pisteestä $x$ johonkin joukon $A$ pisteeseen, toisin sanoen

$d(x,A)=\inf\{d(x,y):y\in A\}$.

Katso myös

• Avaruus (matematiikka)
• Ultrametrinen avaruus

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
• Kaleva, Osmo: Reaalianalyysi. (opintomoniste 141) Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Metrinen avaruus Wikimedia Commonsissa