Zanurzenie (matematyka)

Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe $f\colon A\rightarrow B$ obiektu $A$ w obiekt $B$ zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).

Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie $B$ podzbioru „identycznego” z obiektem $A.$

Teoria kategorii

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, Vect_K, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe.

Teoria mnogości

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru $A$ w zbiór $B$ jest funkcja różnowartościowa $f\colon A\to B.$

Zbiór $A$ można wtedy utożsamić ze zbiorem $f(A),$ gdzie $f(A)\subset B.$

Twierdzenie

Jeśli dla zbiorów $A$ i $B$ istnieją zanurzenia

$f\colon A\to B$ i $g\colon B\to A,$

to istnieje funkcja różnowartościowa $h\colon B\rightarrow A,$ że

$h(B)=A$.

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód

Można założyć, że $A$ jest podzbiorem $B,$ a funkcja $f=id_{A}$ realizuje to zawieranie. Niech $Z_{n}$ będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

$Z_{0}=B\setminus A,Z_{n+1}=g(Z_{n})\,{\text{dla }}n=0,1,2,\dots$

Niech $Z=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }Z_{n}.$ Wtedy $g(Z)=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }Z_{n}\subset A$ oraz $B\setminus Z=B\setminus (B\setminus A\cup g(Z))=A\setminus g(Z).$

Funkcja

$h(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{dla }}x\in Z\\x&{\text{dla }}x\in B\setminus Z\end{cases}}$

jest bijekcją, bo

$Z\cap (B\setminus Z)=\varnothing ,$

$h(Z)\cap h(B\setminus Z)=g(Z)\cap (A\setminus g(Z))=\varnothing ,$

skąd wynika, że $h$ jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

$h(Z)\cup h(B\setminus Z)=g(Z)\cup (A\setminus g(Z))=A,$

skąd wynika, że $h$ jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”).

Topologia

Topologia ogólna

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni $A$ w przestrzeń $B$ nazywa się odwzorowanie $f\colon A\to B,$ takie że przestrzeń $A$ jest homeomorficzna ze swoim obrazem $f(A).$

Przykłady

• Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamkniętą zwyczajną (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni ${\mathcal {R}}^{3}.$ Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni $A,$ znajdując odwzorowanie różnowartościowe $f$ (zanurzenie), takie że obrazem okręgu $O$ jest pewna krzywa $\gamma =f(O)\in A.$
• W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

• 
  Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 2)
• 
  Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 3)
• 
  Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 5)

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem.

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania

Topologia różniczkowa

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni $A$ w przestrzeń $B$ jest dyfeomorfizm $f\colon A\to B.$

Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich

Zwarta $k$-wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości $m>1$ (tzn. $m$ razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową $E^{2k+1}$ o wymiarze $2k+1.$ Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa $m$.

Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej $A$ w przestrzeń metryczną $B$ jest izometria $f\colon A\to B.$

Algebra

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup

Homomorfizm $h\colon H\rightarrow G$ grupy multiplikatywnej $H$ w grupę multiplikatywną $G$ jest zanurzeniem, jeśli $\ker(h)=\{1\}.$

Przykłady

• Grupę ${\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )$ obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych $\mathbb {C} ^{*}$

$\exp :R_{O}^{\alpha }\mapsto e^{i\alpha },$

gdzie $R_{O}^{\alpha }={\begin{bmatrix}\cos {\alpha }&-\sin {\alpha }\\\sin {\alpha }&\cos {\alpha }\end{bmatrix}}\in {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )$ dla kąta $\alpha \in \langle 0;2\pi ).$

Grupę ${\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )$ można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej $\{e^{i\alpha }:\alpha \in \langle 0;2\pi )\}.$

Teoria ciał

• Każdy homomorfizm $\varphi \colon K\to P$ ciała $K$ w pierścień przemienny niezerowy $P$ jest zanurzeniem (jego obraz jest izomorficzny z ciałem $K$).
• W każdym ciele jest zanurzone albo ciało liczb wymiernych $\mathbb {Q} ,$ albo ciało $p$-elementowe $\mathbb {F} _{p},$ gdzie $p$ jest liczbą pierwszą. W pierwszym wypadku ciało ma charakterystykę 0, a w drugim – charakterystykę $p$.
• Każde ciało jest zanurzone w pewnym ciele algebraicznie domkniętym.

Teoria pierścieni

• Każdy pierścień bez dzielników zera można zanurzyć w jego pierścień ułamków.

Teoria modułów

• Niech $P$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym $S$ w $P$ jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia. Niech $M$ będzie modułem nad pierścieniem $P.$ Na iloczynie kartezjańskim $M\times S$ można określić relację równoważności „$\equiv$”:

$(m,s)\equiv (m^{1},s^{1})$ ⇔ dla pewnego $t\in S$ zachodzi równość $t(ms^{1}-m^{1}s)=0.$

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je $m/s,$ a ich zbiór modułem ułamków $S^{-1}M.$ Podobnie można określić pierścień ułamków $S^{-1}P.$ Zbiór $S^{-1}M$ jest modułem nad pierścieniem $S^{-1}P.$ Wtedy jeśli

$f\colon N\to M$ jest zanurzeniem modułu $N$ w moduł $M,$

to odwzorowanie

$S^{-1}f(n/s)=f(n)/s$

jest zanurzeniem $S^{-1}N$ i $S^{-1}M$.

Bibliografia

• Z. Semadeni, A. Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
• Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).
• K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
• K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Л.С. Понтрягин: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
• J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
• S. Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
• S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
• М. Атья, И. Макдональд: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.).