Teorema della funzione inversa

In matematica, il teorema della funzione inversa dà condizioni sufficienti affinché una funzione possegga una inversa locale, cioè affinché essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio.

Il teorema può essere enunciato per funzioni reali o vettoriali e generalizzato per spazi di Banach e varietà differenziabili.

Il teorema

Sia $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un aperto e $x_{0}$ un punto di $\Omega$. Se $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ è una funzione di classe C¹ tale che il determinante jacobiano di $F$ in $x_{0}$ è non nullo:

$|J_{F}(x_{0})|=\det {\frac {\partial (F_{1},\ldots ,F_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\neq 0,$

o equivalentemente se il differenziale di $F$ in $x_{0}$:

$dF_{x_{0}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

è un isomorfismo lineare, allora esistono un intorno $I$ di $x_{0}$ e un intorno $J$ di $y_{0}$ tale che la restrizione di $F$ su $I$ e $J$:

$F\colon I\to J$

è invertibile con $G=F^{-1}$ di classe $C^{1}$ su $J.$ Inoltre per ogni $y\in J$ vale la relazione:

$J_{G}(y)=(J_{F}(G(y)))^{-1}.$

Una funzione differenziabile che possiede inversa locale differenziabile si dice un diffeomorfismo locale.

Dimostrazione

Sia $\delta =1/k,k\in \mathbb {N}$ e $B_{1/k}(x_{0})\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un intorno sferico. Supponiamo per assurdo che per ogni $k\in \mathbb {N}$ esistono $x'_{k},x''_{k}\in B_{1/k}(x_{0}),$ con $x'_{k}\neq x''_{k}$ e $F(x'_{k})=F(x''_{k}).$ Applicando il teorema di Lagrange alle componenti di $F,$ per ogni $i=1,\ldots ,n$ esiste un punto $x_{k}^{i}\in B_{1/k}(x_{0})$ tale che $\langle \nabla F_{i}(x_{k}^{i}),x''_{k}-x'_{k}\rangle =0,$ dove $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ è il prodotto scalare. Posto $v_{k}={\frac {x''_{k}-x'_{k}}{|x''_{k}-x'_{k}|}},$ essendo limitata per costruzione, per il teorema di Bolzano-Weierstrass la successione ammette una sottosuccessione estratta $v_{k_{r}}$ convergente a un versore $v.$ Poiché $\lim _{k\to +\infty }x_{k}^{i}=x_{0}$ e $F\in C^{1}(\Omega ),\lim _{k\to +\infty }\nabla F_{i}(x_{k}^{i})=\nabla F_{i}(x_{0})$ e $\langle \nabla F_{i}(x_{0}),v\rangle =0$ per ogni $i=1,\ldots ,n.$ Ciò è assurdo in quanto, per ipotesi, $|J_{F}(x_{0})|\neq 0$ e il sistema lineare

${\begin{cases}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}(x_{0})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}(x_{0})v_{n}=0\\\vdots \\{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{1}}}(x_{0})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}(x_{0})v_{n}=0\end{cases}},$

ha come unica soluzione il vettore nullo di $\mathbb {R} ^{n}.$ Allora esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ in cui $F$ è iniettiva.

Sia $H(x,y)=F(x)-y,x\in \Omega$ e $y\in \mathbb {R} ^{n}.$ Posto $y_{0}=F(x_{0})$ risulta $H(x_{0},y_{0})=0.$ Inoltre

$\det {\frac {\partial (H_{1},\ldots ,H_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial (F_{1},\ldots ,F_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(x_{0})\neq 0.$

Allora per il teorema delle funzioni implicite esistono un intorno $J$ di $y_{0},$ un intorno $I'$ di $x_{0}$ ed un'unica funzione $G:J\to I'$ di classe $C^{1}$ tale che $F(G(y))-y=0,\forall y\in J.$ Supposto $I'\subseteq U,$ $F$ è iniettiva in $U$ e segue che $G$ è l'inversa di $F$ ristretta a $I=G(J)=F^{-1}(J).$

Inoltre, sempre per il teorema delle funzioni implicite, si ha:

${\frac {\partial (G_{1},\ldots ,G_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}(y)=-\left({\frac {\partial (F_{1},\ldots ,F_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(G(y))\right)^{-1}\cdot {\frac {\partial (H_{1},\ldots ,H_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}(G(y),y),$

ma essendo ${\frac {\partial H_{i}}{\partial y_{j}}}=-\delta _{ij},$ si ottiene l'asserto.

Esempio

La funzione definita sullo spazio euclideo bidimensionale:

$f(x,y)=(x^{2}-y^{2},2xy)$

possiede matrice jacobiana:

$Jf_{(x,y)}={\begin{bmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{bmatrix}}$

che ha determinante $|Jf_{(x,y)}|=4(x^{2}+y^{2})$, non nullo se il punto $(x,y)$ non è l'origine. Pertanto $f$ è un diffeomorfismo locale in ogni punto di $\mathbb {R} ^{2}$ diverso dall'origine. Ma $f$ non è un diffeomorfismo poiché non è iniettiva: ad esempio $f(2,0)=f(-2,0)$.

Generalizzazioni

Varietà differenziabili

Il teorema si estende al caso di funzioni tra due varietà differenziabili $M$ ed $N$, richiedendo la condizione che il differenziale di $F$:

$dF_{p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N$

sia un isomorfismo lineare tra gli spazi tangenti.

Spazi di Banach

Nel contesto degli spazi di Banach, il teorema assume la seguente forma: se $F\colon X\to Y$ è una mappa tra spazi di Banach differenziabile con continuità in un intorno dello 0 e il differenziale $dF_{0}$ è un isomorfismo lineare limitato di $X$ in $Y$, allora $F$ è localmente invertibile in 0 mediante una funzione differenziabile.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Editore Liguori, ISBN 88-207-3137-1
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5548-6
• (EN) Renardy, Michael and Rogers, Robert C., An introduction to partial differential equations, Texts in Applied Mathematics 13, Second, New York, Springer-Verlag, 2004, pp. 337–338, ISBN 0-387-00444-0.
• (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics, Third, New York, McGraw-Hill Book Co., 1976, pp. 221–223.

Voci correlate

• Classe C di una funzione
• Diffeomorfismo locale
• Differenziale (matematica)
• Funzione inversa
• Funzione differenziabile
• Matrice jacobiana
• Operatore lineare limitato
• Teorema delle funzioni implicite

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Inverse Function Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.