Integrale di superficie

La definizione di integrale di superficie consiste nel suddividere una superficie in parti infinitesime tanto da poterle considerare piane.

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

Definizione

Si definisce elemento di volume in $\mathbb {R} ^{k}$ la k-forma:

$\mathrm {d} \mathbf {V} _{k}=\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}.$

Sia $S$ una $k$-superficie positivamente orientata in $\mathbb {R} ^{k}$ e $f$ una funzione continua definita sull'immagine di $S$ e a valori in $\mathbb {R}$. Allora:

$\int _{S}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}=\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{k}.$

Sia $D\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ il dominio di parametrizzazione di $S$ e $S\colon D\to \mathbb {R} ^{k}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana $J_{S}$ positiva. Allora:

$\int _{S(D)}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{D}f(S(\mathbf {u} ))\left|J_{S}(\mathbf {u} )\right|\;\mathrm {d} \mathbf {u} .$

Se $f=1$ l'integrale fornisce il volume della superficie.

Integrale di funzioni su 2-superfici nello spazio

Sia $S$ una 2-superficie in $\mathbb {R} ^{3}$ con dominio di parametrizzazione $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $u$ e $v$:

$S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).$

Sia $f\colon S(D)\to \mathbb {R}$ una funzione definita su $S$. Ad ogni punto $(u,v)\in D$ del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:

$\mathbf {N} (u,v)={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{3}$

dove i vettori $\mathbf {e} _{i}$ sono gli elementi della base canonica di $\mathbb {R} ^{3}$. Si definisce integrale di superficie di $f$ sulla superficie $S(D)$ la scrittura:

$\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{2}=\int _{D}f(S(u,v))|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.$

In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:

$\int _{S}f\;\mathrm {d} S=\iint _{D}f(S(u,v))\left|{\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}\right|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}f(S(u,v))\left|\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)\right|\,\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

dove

$\mathbf {N} (u,v)={\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v))}}\right)$

è l'elemento di superficie normale a $S$. Inoltre

${\frac {\partial (x_{i},x_{j})}{\partial (u,v)}}={\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial v}}-{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial v}}.$

Se $f=1,$ l'integrale fornisce l'area della superficie:

$A(S)=\int _{D}|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.$

Integrale di 2-forme su 2-superfici nello spazio

Sia $S$ una 2-superficie in $\mathbb {R} ^{3}$ con dominio di parametrizzazione $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $u$ e $v$:

$S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).$

Sia

$\omega =\omega _{x}(x,y,z)\;\mathrm {d} y\wedge \;\mathrm {d} z+\omega _{y}(x,y,z)\;\mathrm {d} z\wedge \;\mathrm {d} x+\omega _{z}(x,y,z)\;\mathrm {d} x\wedge \;\mathrm {d} y$

una 2-forma definita su $S$. Si definisce integrale di $\omega$ su $S$

$\int _{S}\omega =\int _{D}\omega (S(u,v))[J_{S}(u,v)]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\int _{D}\left[\omega _{x}(S(u,v)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+\omega _{y}(S(u,v)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+\omega _{z}(S(u,v)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v.$

Interpretando la 2-forma $\omega$ come un campo vettoriale $\mathbf {F} =(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})$ definito su $S$ si ha:

$\int _{S}{\mathbf {F} }\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {n} })\;\mathrm {d} S=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {n} \,\,|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {N} (u,v)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

dove $\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {N} (u,v)}{|\mathbf {N} (u,v)|}}$ è il versore normale alla superficie.

Esempio

Sia $S$ una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $\xi$ e $\eta$:

$x=x(\xi ,\eta ),\qquad y=y(\xi ,\eta ),\qquad z=z(\xi ,\eta )$

e sia $f(P)$ funzione continua dei punti $P(\xi ,\eta )$ di detta superficie. Decomposta $S$ in modo arbitrario in elementi $\Delta s$, si fissi su ciascuno di questi un punto $P(\xi ,\eta )$, e si formi il prodotto $f(P)\Delta s$ del valore di $f(P)$ per ogni $\Delta s$. La somma di tali prodotti è indicata con $\sum _{\Delta s=1}^{n}f(P)\Delta s$. Facendo aumentare indefinitamente il numero $n$ degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree $\Delta s$, se esiste il limite di tale somma e se è finito, allora esso è l'integrale di superficie della funzione $f(P)$ sulla superficie $S$. Viene indicato con $\int _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s$ oppure con $\iint _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s$.

Il suo calcolo effettivo si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana $C$ proiezione della superficie $S$ sul piano $xy.$

Con lo "spianamento" della superficie $S$ l'integrale in $\mathrm {d} s$ si trasforma nel seguente integrale doppio:

$\iint _{C}f(P)\cdot {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\cdot \mathrm {d} C$

ove $p=\mathrm {d} z/\mathrm {d} x$ e $q=\mathrm {d} z/\mathrm {d} y$, che consente il calcolo dell'integrale di superficie.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• (EN) Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905.

Voci correlate

• Flusso
• Integrale
• Integrale di linea
• Integrale di volume
• Integrale multiplo

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Collegamenti esterni

• (EN) surface integral, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Surface Integral, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Surface integral, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Surface Integral — from MathWorld
• (EN) Surface Integral — Theory and exercises (PDF), su math.gatech.edu.