Théorèmes d'isomorphisme
En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.
Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».
Premier théorème d'isomorphisme
[modifier | modifier le code]Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre
injectif en quotientant
par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.
Premier théorème d'isomorphisme[1] —
Soit un morphisme de groupes. Alors
induit un isomorphisme
.
Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.
Deuxième théorème d'isomorphisme
[modifier | modifier le code]Deuxième théorème d'isomorphisme[2] —
Soient un groupe,
un sous-groupe normal de
et
un sous-groupe de
. Alors
est un sous-groupe normal de
, et on a l'isomorphisme suivant :
La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de contient
(au lieu de le supposer égal à
tout entier).
Troisième théorème d'isomorphisme
[modifier | modifier le code]Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient un groupe et
et
deux sous-groupes normaux de
tels que
soit inclus dans
. Alors
est un sous-groupe normal de
et on a l'isomorphisme suivant :
Notes et références
[modifier | modifier le code]Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4
