Parallélogramme

Un parallélogramme ABCD.

En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère (polygone à quatre côtés) dont les diagonales se coupent en leur milieu. Leur point d'intersection est le centre de symétrie du parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Définitions équivalentes

En géométrie purement affine, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• les segments $[{\rm {{AC}]}}$ et $[{\rm {{BD}]}}$ ont même milieu
• les vecteurs ${\rm {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\rm {\overrightarrow {DC}}}$ sont égaux ;
• les vecteurs ${\rm {\overrightarrow {AD}}}$ et ${\rm {\overrightarrow {BC}}}$ sont égaux.

Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC).

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :

• le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
• il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
• ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
• c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

Propriétés

• Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
• Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : ${\rm {{AC}^{2}+{BD}^{2}=2\left({AB}^{2}+{BC}^{2}\right)}}$.
• Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires.
• Les angles opposés sont égaux.

Cas particuliers

• Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il est même équilatéral.
• Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
• Un carré est un losange rectangle.

Aire

L'aire d'un parallélogramme est égale à celle du rectangle de mêmes base et hauteur.

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée (distance entre les deux côtés de longueur $b$). L'aire ${\mathcal {A}}$ du parallélogramme vaut :

${\mathcal {A}}=b\times h.$

En fonction des longueurs $a,b$ des côtés et de la mesure $\alpha$ du petit angle, l'aire est donnée par :

${\mathcal {A}}=ab\sin \alpha .$

Avec les notations ci-dessus, l'aire est aussi donnée par le déterminant :

${\mathcal {A}}=|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})|$

En fonction des longueurs $a,b$ des côtés et des longueurs $d,d'$des diagonales, l'aire est donnée par :

${\mathcal {A}}^{2}=a^{2}b^{2}-{\frac {1}{16}}(d^{2}-d'^{2})^{2}={\frac {1}{4}}(d^{2}d'^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2})$,

ce qui redonne les formules d'aire dans le cas du rectangle ($d=d'$) et dans le cas du losange ($a=b$).

Antiparallélogramme

Un antiparallélogramme.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

Équipollence et vecteurs

(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :

• on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
• deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme (la relation d'équipollence est une relation d'équivalence) ;
• on appelle vecteur ${\rm {\overrightarrow {AB}}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

On retrouve alors qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si ${\rm {{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}}$.

Voir aussi

• Aire d'un polygone
• Parallélépipède
• Paralléloèdre (en)
• Parallélogone (en)
• Théorème de Varignon