Constante de Golomb–Dickman

En mathématiques, la constante de Golomb–Dickman apparaît en théorie des nombres et dans l'étude des permutations aléatoires. Sa valeur est

$\lambda =0,62432998854355087099293638310083724\dots$ suite A084945 de l'OEIS

On ne sait pas si cette constante est rationnelle ou non.

Définitions

Soit a_n l'espérance — prise sur l'ensemble des permutations d'un ensemble de taille n — de la longueur du plus grand cycle de chaque permutation. La constante de Golomb-Dickman est définie par

$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}.$

En termes probabilistes, $n\lambda$ est asymptotiquement l'espérance de la longueur du plus grand cycle d'une permutation de ${\mathcal {S}}_{n}$ uniformément distribuée.

En théorie des nombres, la constante de Golomb–Dickman apparaît dans la taille moyenne des plus grands diviseurs premiers d'un entier. Plus précisément,

$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\ln(P_{1}(k))}{\ln(k)}},$

où $P_{1}(k)$ est le plus grand facteur premier de k, ce qui signifie que le nombre de chiffres en base n de $P_{1}(n)$ converge en moyenne de Cesàro vers $\lambda$. Donc si n est un entier à d chiffres dans une base donnée, alors $\lambda d$ est en moyenne le nombre de chiffres dans cette base du plus grand facteur premier de n.

La constante de Golomb–Dickman apparaît aussi dans le problème arithmétique suivant : quelle est la probabilité que le deuxième facteur premier de n soit plus petit que la racine du premier ? Asymptotiquement, cette probabilité vaut $\lambda$ :

$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\text{Prob}}\left\{P_{2}(n)\leqslant {\sqrt {P_{1}(n)}}\right\}$

où $P_{2}(n)$ est le deuxième plus grand facteur premier de n.

Enfin, la constante apparaît lorsque l'on s'intéresse à la longueur moyenne du plus grand cycle de toute fonction d'un ensemble fini dans lui-même. Si X est un ensemble fini, on applique successivement la fonction f : X → X à n'importe quel élément x de cet ensemble, cela forme un cycle, montrant que pour un certain k $f^{n+k}(x)=f^{n}(x)$ pour n assez grand; le plus petit k respectant cette propriété est la longueur du cycle. Soit b_n la moyenne prise sur l'ensemble des fonctions d'un ensemble de taille n dans lui-même, de la taille du plus grand cycle. Purdom et Williams ont montré que

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\lambda .$

Formules

Il existe plusieurs expressions de $\lambda$. En particulier :

$\lambda =\int _{0}^{1}e^{\mathrm {Li} (t)}\,dt$

où $\mathrm {Li} (t)$ est la fonction logarithme intégral,

$\lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}\,dt$

où $E_{1}(t)$ est la fonction exponentielle intégrale, et

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}\,dt$

et

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}\,dt$

où $\rho (t)$ est la fonction de Dickman.

Articles connexes

• Permutations aléatoires
• Combinatoire analytique

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Golomb-Dickman Constant », sur MathWorld
• suite A084945 de l'OEIS, décimale de la constante de Golomb-Dickman
• Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, 284–286 (ISBN 0-521-81805-2, lire en ligne)

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Golomb–Dickman constant » (voir la liste des auteurs).