Areo

La areoj de tiu kvadrato kaj de tiu disko estas la samo.

Areo (komparu: sanskrite ur, urv, urw.ars (tero); latine area (arvum, kampo)) estas la kvanto esprimanta la grandecon de regiono sur ebeno aŭ, pli ĝenerale, mezuron de (ne nepre ebena) dudimensia surfaco.

Ekzemple, la areo de ortangulo estas kalkulata per la formulo a×b, kie a kaj b estas la longo kaj la larĝo de la ortangulo.

La SI-unuo de areo estas kvadrata metro (m²). Aliaj unuoj estas kvadrata kilometro ktp. kaj hektaro (100 m × 100 m = 10 000 m²).

La vorton areo oni uzas ankaŭ en alia senco: tiel oni nomas parton de la tera surfaco kun difinitaj limoj aŭ difinita uzo. Kutime estas klare, ĉu temas pri la areo mem aŭ pri la mezuro de ĝia grando, tamen oni konsciu, ke temas pri la uzado de la sama vorto por malsamaj nocioj.

Difinoj

Kvadratmetra kvadrato, uzata en ekologio, arkeologio ktp) farita el PVC (plastaj) tuboj.

Laŭ Francisko Azorín areo estas Tersurfaco. Spaco inter difinitaj limoj.

Alproksimiĝo al difino de tio kio estas komprenata per "areo" estas kreita tra aksiomoj. "Areo" povas esti difinita kiel funkcio el kolekto M de speciala tipo de ebenaj figuroj (terminigite kiel mezureblaj surfacoj) al la serio de reelaj nombroj, kio plenumas la jenajn proprecojn:

• Por ĉiu S en M, a(S) ≥ 0.
• Se S kaj T estas en M tiam estas ankaŭ S ∪ T kaj S ∩ T, kaj ankaŭ a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S kaj T estas en M kun S ⊆ T tiam T − S estas en M kaj a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se serio S estas en M kaj S estas kongrua kun T tiam T estas ankaŭ en M kaj a(S) = a(T).
• Ĉiu ortangulo R estas en M. Se la ortangulo havas longon h kaj larĝon k tiam a(R) = hk.
• Lasu Q esti serio ene de inter du ŝtupregionoj S kaj T. Ŝtupregiono estas formata el finita unio de apudaj ortanguloj restantaj sur komuna bazo, t.e. S ⊆ Q ⊆ T. Se estas unika nombro c tiel ke a(S) ≤ c ≤ a(T) por ĉiuj tiaj ŝtupregionoj S kaj T, tiam a(Q) = c.

Oni povas pruvi, ke tia areofunkcio fakte ekzistas.

Unuoj

Ĉiu long-unuo havas korespondan unuon de areo, nome la areo de kvadrato kun la donita flanka longo. Tiel areoj povas esti mezuritaj en kvadrataj metroj (m²), kvadrataj centimetroj (cm²), kvadrataj milimetroj (mm²), kvadrataj kilometroj (km²), kvadrataj futoj, kvadrataj jardoj, kvadrataj mejloj, ktp. Algebre, tiuj unuoj povas esti konsiderattaj kiel la kvadratoj de la ekvivalentaj long-unuoj.

La SI-unuo de areo estas la kvadrata metro, kiu estas konsiderata SI-derivita unuo.

Konvertoj

Kvankam estas 10 mm en 1 cm, estas 100 mm² en 1 cm².

Kalkulo de areo de kvadrato kies longo kaj larĝo estas 1 metro estus:

1 metro × 1 metro = 1 m²

kaj tiel plu, ortangulo kun diferencaj flankoj (ekzemple longo de 3 metroj kaj larĝo de 2 metroj) havus areon en kvadrataj unuoj kiuj povus esti kalkulataj jene:

3 metroj × 2 metroj = 6 m². Tio egalvaloras al 6 milionoj da kvadrataj milimetroj. Aliaj utilaj konvertoj estas jenaj:

• 1 kvadrata kilometroj = 1 000 000 da kvadrataj metroj
• 1 kvadrata metro = 10 000 kvadrataj centimetroj = 1 000 000 da kvadrataj milimetroj
• 1 kvadrata centimetro = 100 kvadrataj milimetroj.

Historio

La ideo ke la areo estas la mezuro kiu havigas la grandon de la regiono enmetita en geometriaj figuroj devenas de la Antikveco. En la antikva Egipto, post la ĉiujara kreskiĝo fare de la rivero Nilo kiu inundis la kampojn, aperis la neceso kalkuli la areon de ĉiu agrikultura terpeco por restaŭri ties limojn; por solvi tion, la egiptoj inventis la geometrion, laŭ Herodoto.

La maniero kalkuli la areon de plurlatero kiel la adicio de la areoj de trianguloj, estas metodo kiu estis proponita por la unua fojo fare de la greka fakulo Antifono ĉirkaŭ la jaro 430 a.n.e. Kalkuli la areon de kurba figuro generas plian malfacilecon. La elĉerpa metodo konsistas en la enmeto de plurlateroj en la geometria figuro, pligrandigi la nombron de flankoj de tiuj plurlateroj kaj kalkuli la celitan areon. Per tiu sistemo konata kiel elĉerpa metodo de Eŭdokso, oni sukcesis atingi alproksimigon por kalkuli la areon de disko. Tiu sistemo estis uzata poste fare de Arkimedo por solvi aliajn similajn problemojn, same kiel la proksimuman kalkulon de la nombro π.

Cirkla areo

Cirklo kun enmetitaj kvadrato kaj oklatero, montrante la arean mankon.

En la 5-a jarcento a.n.e., Hipokrato de Ĥio estis la unua se temas pri montri ke la areo de disko (la regiono enfermita per cirklo) estas proporcia al la kvadrato de sia diametro, kiel parto de lia kvadraturo de la Luno de Hipokrato, sed li ne identigis la konstanton de proporcieco. Ankaŭ Eŭdokso de Knido, ankaŭ en la 5-a jarcento a.n.e., trovis, ke la areo de disko estas proporcia al ĝia radiuso kvadratita.

Poste, la Libro I de Elementoj de Eŭklido traktis egalecon de areoj inter dudimensiaj figuroj. La matematikisto Arkimedo uzis la ilojn de la Eŭklida geometrio por montri, ke la areo ene de cirklo estas egala al tiu de orta triangulo kies bazo havas la longon de la cirkla cirkonferenco kaj kies alteco egalas la cirklan radiuson, en sia libro Mezuro de Cirklo. (La cirkonferenco estas 2palier, kaj la areo de triangulo estas duono de la bazo oble la alteco, donante la areon palier² por la disko.) Arkimedo proksimigis la valoron de π (kaj tial la areon de unua-radiusa cirklo) per sia duobliga metodo, en kiu li enskribis regulan triangulon en cirklo kaj notis ĝian areon, poste duobligis la nombron da flankoj por havigi regulan seslateron, kaj poste ripete duobligis la nombron da flankoj por ke la plurlatera areo estu pli proksima al tiu de la cirklo (kaj same faris kun ĉirkaŭlimigitaj plurlateroj).

Triangula areo

Aplikante trigonometrion por trovi la altecon h.

Herono de Aleksandrio trovis tion kio estas konata kiel la Formulo de Herono por la areo de triangulo laŭ ĝiaj flankoj, kaj pruvo povas esti trovita en lia libro, Metrica, skribita ĉirkaŭ 60 n.e. Oni sugestis, ke Arkimedo sciis la formulon pli ol du jarcentojn pli frue, kaj ĉar Metrica estas kolekto de la matematika sciaro havebla en la antikva mondo, eble la formulo datas de antaŭ la referenco donita en tiu verko. En 300 a.n.e. la greka matematikisto Eŭklido pruvis, ke la areo de triangulo estas duono de tiu de paralelogramo kun la sama bazo kaj alteco en sia libro Elementoj de Geometrio.

En 499 Aryabhata, granda matematikisto-astronomo el la klasika epoko de Hindia matematiko kaj de Hindia astronomio, esprimis la areon de triangulo kiel unu duono de la bazo tiom da fojoj kiom la alto en sia verko Aryabhatiya.

Formulo ekvivalenta al tiu de Herono estis malkovrita de la ĉinoj sendepende de la grekoj. Ĝi estis publikigita en 1247 en Ŝuŝu Jiuĵang ("Matematika Disertaĵo en Naŭ Sekcioj"), verkita de Qin Jiushao.

Kvarlatera areo

Ekzemplaj kvarlateroj.

En la 7-a jarcento n.e., Brahmagupta disvolvis formulon, nun konatan kiel la "formulo de Brahmagupta", por la areo de cikla kvarlatero (kvarlatero enskribita en cirklo) laŭ ĝiaj flankoj. En 1842, la germanaj matematikistoj Carl Anton Bretschneider kaj Karl Georg Christian von Staudt sendepende trovis formulon, konatan kiel la formulo de Bretschneider, por la areo de iu kvarlatero.

Ĝenerala plurlatera areo

La evoluo de karteziaj koordinatoj fare de René Descartes en la 17-a jarcento ebligis la evoluon de la formulo de la geodeziisto por la areo de iu plurangulo kun konataj verticlokoj fare de Gauss en la 19-a jarcento.

Areoj determinitaj uzante kalkulon

La evoluo de integrala kalkulo en la fino de la 17-a jarcento disponigis ilojn kiuj povus poste esti uzitaj por komputado de pli komplikaj areoj, kiel ekzemple la areo de elipso kaj la surfacareoj de diversaj kurbaj tridimensiaj objektoj.

Areoj de ebenaj figuroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Geometria figuro.

Areo de triangulo

Kalkulo de la areo de triangulo $A={\tfrac {b\cdot h}{2}}$

Areoj en kvadratita papero.

• La areo de triangulo estas egala al la duon-produto inter la longo de unu bazo kaj la alto relativa al tiu:

$A={\frac {b\cdot h}{2}}$

kie b estas la bazo de la triangulo kaj h estas la alto koresponda al tiu bazo (oni povas konsideri ajnan lateron kiel bazo).

• Se la triangulo estas orta, la alto koincidas kun unu el la katetoj, pro kio la areo estas egala al la duonproduto de la katetoj:

$A={\frac {a\cdot b}{2}}$

kie a kaj b estas la katetoj.

• Se oni konas la longon de ties lateroj, oni povas apliki la formulon de Heron.

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

kie a, b, c estas la valoroj de la longoj de ties lateroj, s = ½ (a + b + c) estas la duonperimetro de la triangulo.

• Se la triangulo estas egallatera, la areo estas egala al unu kvarono de la kvadrato de unu latero por la kvadrata radiko de 3:

$A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}$

kie a estas unu latero de la triangulo.

Area de kvarlatero

Trapezoido.

• La areo de trapezoido aŭ de ajna kvarlatero estas egala al la duonproduto de ties diagonaloj por la sinuso de la angulo kiun ili formas.

$A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}$

La areo estas atingebla ankaŭ pere de triangulado:

$A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}$

Estante:

$\alpha \,$ la angulo inter la lateroj $a\,$ kaj $d\,$.

$\gamma \,$ la angulo inter la lateroj $b\,$ kaj $c\,$.

• La ortangulo estas plurlatero kies anguloj estas ĉiuj de 90º, kaj la areao estas egala al la produto de du el ties sinsekvaj lateroj a kaj b:

$A={a\cdot b\,}$

• La rombo estas plurlatero kies 4 lateroj estas egalaj, kaj ties areo estas la duonproduto de ties du diagonaloj:

$A={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}$

• La kvadrato estas la regula plurlatero de kvar lateroj; ĝi estas samtempe ortangulo kaj rombo, pro kio ĝia areo povas estis kalkulata sammaniere kiel tiuj de la ortangulo kaj de la rombo. Partikulare, ĉar ties lateroj estas egalaj, oni uzas la formulon:

$A=a\cdot a\,=a^{2}$

• La romboido havas areon kalkuleblan el la produto de unu de ties lateroj por la respektiva alto:

$A=b\cdot h\,$

• La trapezo, kiu havas du malajn laterojn paralelajn inter si kaj aliajn du neparalelajn laterojn, havas areon havigitan per la duonproduto de ties paralelaj lateroj multobligita por la distanco inter ili (alto):

$A={\frac {a+b}{2}}\cdot h$

La areo de trapezo povas esti kalkulita kiel longo de la meza linio multiplikita per la distanco laŭ perpendikularo inter la paralelaj lateroj. Ĉi tio donas kiel speciala okazo la konatan formulon por la areo de triangulo, per konsidero de triangulo kiel degenera trapezo ĉe kiu unu el la paralelaj lateroj estas malpligrandigita en punkton. Tial, se a kaj b estas la du paralelaj lateroj kaj h estas la distanco (alto) inter la paralelaj lateroj, la area formulo estas:

A= (a+b)h/2

Areo de la disko kaj de la elipso

La areo de disko, nome tiu limigita de cirklo, estas kalkulebla pere de la jena matematika esprimo:

$A=\pi r^{2}\,$

La areo limigita inter la bildo de du kurboj estas kalkulebla pere de la diferenco inter la integraloj de ambaŭ funkcioj.

La areo limigita de elipso estas simila kaj akirebla kiel produto de la duono de la plej granda akso por la duono de la malplej granda akso multobligitaj por π:

$A={\ \pi ab}$

Areo limigita inter du funkcioj

Metodo por atingi la areon limigita inter du funkcioj, estas uzante la integralan kalkulon:

${\text{Areo}}(a,b)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$

La rezulto de tiu integralo estas la areo enhavita inter la kurboj: $f(x)\,$ kaj $g(x)[<f(x)]\,$ en la intermezo $[a,b]\,$.

Ekzemplo

Se oni deziras trovi la areon limigitan inter la akso x kaj la funkcio $f(x)=4-x^{2}$ en la intermezo $[-2;2]$, oni uzas la antaŭe menciitan ekvacion, tiuokaze: $g(x)=0$ tiam pritaksante la integralon, oni akiras jenon:

$A(-2,2)=$ $\int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=$ $2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=$ $2\left[4x-{\cfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{2}=$ $2\left[8-\left({\cfrac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]=$ ${\cfrac {32}{3}}$

Pro kio oni konkludas, ke la areo limigita estas $32/3$.

Ankaŭ la volumeno enfermita inter du funkcioj povas esti atingebla per la kalkulo de simila integralo.

Rilato areo-perimetro

Difinita simpla kurbo enfermita en la eŭklida ebeno, oni povas pruvi, ke ties longo aŭ perimetro de la areo enfermita kaj la propra areo enfermita kongruas kun la rilato:

${\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}$

La egaleco estas atingebla nur por disko; la ceteraj figuroj kaj eblaj formoj plenumas plej striktan malegalecon.

Areoj de ne-ebenaj figuroj

Arkimedo montris, ke la surfacareo de sfero estas ekzakte kvaroble la areo de ebena disko de la sama radiuso, kaj la volumeno enfermita de la sfero estas ekzakte 2/3 de la volumeno de cilindro de la sama alto kaj radiuso.

Plej bazaj formuloj por surfacareo povas esti akiritaj tranĉante surfacojn kaj ebenigante ilin. Ekzemple, se la flanka surfaco de cilindro (aŭ iu ajn prismo) estas tranĉita laŭlonge, la surfaco povas esti ebenigita en ortangulon. Simile, se tranĉo estas farita laŭ la flanko de konuso, la flanka surfaco povas esti ebenigita eksteren en sektoron de cirklo, kaj la rezulta areo povas esti komputita.

La formulon por la surfacareo de sfero estas pli malfacile derivebla: ĉar sfero havas nenulan Gaŭsan kurbiĝon, ĝi ne povas esti ebenigita. La formulo por la surfacareo de sfero unue estis akirita fare de Arkimedo en lia verko Sur la Sfero kaj Cilindro. La formulo estas jenaj:

A = 4πr²  (sfero),

kie r estas la radiuso de la sfero. Kiel ĉe la formulo por la areo de cirklo, ĉiu derivaĵo de ĉi tiu formulo esence uzas metodojn similajn al kalkulo.

Disvastiĝa areo

Disvastiĝa areo estas esprimo por difini tiun teran surfacon de bestospecioj, kiun ili konkeris, tie ili disvastiĝis. Por tiu koncepto oni uzas ankaŭ la terminon arealo.

Listo de formuloj

Kromaj oftaj formuloj por areo:

Formo	Formulo	Variabloj
Kvadrato	$A=s^{2}$
Ortangulo	$A=ab$
Triangulo	$A={\frac {1}{2}}bh\,\!$
Triangulo	$A={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )\,\!$
Triangulo (Formulo de Herono)	$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$
Izocela triangulo	$A={\frac {c}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
Regula triangulo (Egallatera triangulo)	$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!$
Rombo/Kajto	$A={\frac {1}{2}}de$
Paralelogramo	$A=ah_{a}\,\!$
Trapezo	$A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!$
Regula seslatero	$A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$
Regula oklatero	$A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!$
Regula plurlatero ($n$ flankoj)	$A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}$ $\quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})$ $\quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!$	$p=na\$ (perimetro) $r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),$ ${\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})$ $r:$ encirkla radiuso $R:$ ĉirkaŭcirkla radiuso
Cirklo	$A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}$ ($d=2r:$ diametro)
Cirkla sektoro	$A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$
Elipso	$A=\pi ab\,\!$
Integralo	$A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0$
	Surfaca areo
Sfero	$A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$
Kuboido	$A=2(ab+ac+bc)$
Cilindro (inkl. malsupron kaj supron)	$A=2\pi r(r+h)$
Konuso (incl. bottom)	$A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$
Toro	$A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r$
Revolua surfaco	$A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x$ (rotacio ĉirkaŭ la x-akso)

La supraj kalkuloj montras kiel trovi la areojn de multaj oftaj formoj.

La areoj de neregulaj (kaj tiel arbitraj) plurlateroj povas esti kalkulitaj uzante la "Formulon de Termezuristo" (ŝulaĉa formulo).

Rilato de areo al perimetro

La izoperimetra malegaleco asertas, ke por fermita longokurbo L (tiel ke la regiono enhavas perimetron L) kaj por areo A de la regiono kiun ĝi enhavas,

$4\pi A\leq L^{2},$

kaj egaleco validas se kaj nur se la kurbo estas cirklo. Tiel cirklo havas la plej grandan areon de iu fermita figuro kun antaŭfiksita perimetro.

Ĉe la alia ekstremo, figuro kun antaŭfiksita perimetro L povus havi arbitre malgrandan areon, kiel ilustrite per rombo kiu estas "renversigita" arbitre malproksime tiel ke du el ĝiaj anguloj estas arbitre proksimaj al 0° kaj la aliaj du estas arbitre proksimaj al 180°.

Por cirklo, la rilatumo de la areo al la cirkonferenco (la esprimo por la perimetro de cirklo) egalas al duono de la radiuso r. Ĉi tio povas esti vidita de la areoformulo πr² kaj la cirkonferenca formulo 2πr.

La areo de regula plurlatero estas duono de sia perimetro obliganta la apotemon (kie la apotemo estas la distanco de la centro ĝis la plej proksima punkto sur iu flanko).

Fraktaloj

Duobligi la randolongojn de plurangulo multiplikas ĝian areon per kvar, kio estas du (la rilatumo de la nova al la malnova flankolongo) levita al la potenco de du (la dimensio de la spaco en kiu la plurangulo estas). Sed se la unudimensiaj longoj de fraktalo desegnita en du dimensioj estas ĉiuj duobligitaj, la spaca enhavo de la fraktalaj skaloj per potenco de du, kio ne estas nepre entjero. Ĉi tiu potenco estas nomita la fraktala dimensio de la fraktalo.

Areaj bisektoroj

Estas senfineco de linioj kiuj bisekcas la areon de triangulo. Tri el ili estas la medianoj de la triangulo (kiuj ligas la mezpunktojn de la flankoj kun la kontraŭaj verticoj), kaj tiuj estas konverĝaj ĉe la centroido de la triangulo; efektive, ili estas la nuraj areaj bisekciiloj kiuj iras tra la centroido. Ajna linio tra triangulo kiu disigas kaj la areon de la triangulo kaj ĝian perimetron en duono trapasas la incentron de la triangulo (nome la centro de ĝia encirklo). Estas aŭ unu, du aŭ tri el ĉi tiuj por iu donita triangulo.

Ajna linio tra la mezpunkto de paralelogramo bisekcas la areon.

Ĉiuj areaj bisekciiloj de cirklo aŭ alia elipso iras tra la centro, kaj ĉiuj ĥordoj tra la centro bisekcas la areon. En la kazo de cirklo ili estas la diametroj de la cirklo.

Optimumigo

Surbaze de dratkonturo, la surfaco de plej malgranda areo ampleksanta ("pleniganta") estas minimuma surfaco. Konataj ekzemploj estas sapvezikoj.

La demando pri la pleniga areo de la Riemann-a cirklo restas malfermita.

La cirklo havas la plej grandan areon de iu ajn dudimensia objekto havanta la saman perimetron.

Cikla plurlatero (tiu enmetita en cirklo) havas la plej grandan areon de iu plurlatero kun donita nombro da flankoj de la samaj longoj.

Versio de la izoperimetra malegaleco por trianguloj deklaras, ke la triangulo de plej granda areo inter ĉiuj tiuj kun donita perimetro estas egallatera.

La triangulo de plej granda areo de ĉiuj tiuj enmetitaj en donita cirklo estas egallatera; kaj la triangulo de plej malgranda areo el ĉiuj ĉirkaŭmetitaj ĉirkaŭ donita cirklo estas egallatera.

La rilatumo de la areo de la encirklo al la areo de egallatera triangulo, ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$, estas pli granda ol tiu de iu ne-egala triangulo.

La rilatumo de la areo al la kvadrato de la perimetro de egallatera triangulo, ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},$, estas pli granda ol tiu por iu alia triangulo.

Bildaro

• 
  Komparoj de kvadrata futo kaj kvadrata jardo kun kvadrata metro.
• 
  La areo de ortangulo estas la produto de la longo kaj la larĝo
• 
  La areo de kvadrato estas la kvadrato de la laterolongo
• 
  La areo de triangulo estas la duono de la produto de la latero kaj la alto rilata al tiu latero
• 
  La aero de elipso = $\pi ab$; la aero de la cirklo = $\pi a^{2}$

Literaturo

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, eld. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.

Eksteraj ligiloj

• http://www.shurey.com/Soft/JavaScript/DoRyouKou/square.html（Areo）
• En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el vikipedia artikolo Área hispane.