艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數

固定整數 $k>1$ 。對上半平面上的複數 $\tau$ ，定義艾森斯坦級數 $G_{2k}$ 為

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.

此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 $\Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ 的權 $2k$ 模形式。換言之，若 $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ 滿足 $ad-bc=1$ ，則

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )

模形式理論中的一個基本事實是：模群 $\Gamma$ 的模形式俱可表為 $G_{4}$ 與 $G_{6}$ 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 $G_{4},G_{6}$ 的多項式。

置 $d_{k}:=(2k+3)k!G_{2k+4}$ ，遂有下述關係式：

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}

在此 ${n \choose k}$ 是二項式係數而 $d_{0}=3G_{4}$ 、 $d_{1}=5G_{6}$ 。

函數 $d_{k}$ 可以表示魏爾斯特拉斯 $\wp$ 函數：

\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}

置 $q=e^{2\pi i\tau }$ 。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式

G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)

其中的傅立葉係數 $c_{2k}$ 是

c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}

。

此處的 $B_{n}$ 是伯努利數， $\zeta (z)$ 是黎曼ζ函數，而 $\sigma _{p}(n)$ 是 $n$ 的正因數的 $p$ 次冪和。

G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]

G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right]

當 $|q|<1$ ，對 $q$ 之和亦可化成蘭伯特級數

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

。

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：

E_{2k}:={\frac {G_{2k}}{2\zeta (2k)}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}

。

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義

L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )

M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )

N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau )

則有

q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}

q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}

q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}

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Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
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