Funcție continuă

Funcția $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ este continuă pe domeniul său ($\mathbb {R} \setminus {0}$), dar este discontinuă în $x=0,$ atunci când este considerată ca o funcție parțială definită pe numerele reale.

În matematică continuitatea formalizează ideea intuitivă de „grafic fără întreruperi” și ocupă un loc central în analiza matematică și în topologie. Pentru funcțiile reale de variabilă reală, continuitatea este legată de limite, de proprietățile locale ale graficului și de comportarea globală pe intervale. În cadrul funcțiilor continue apar rezultate fundamentale privind valorile intermediare, existența zerourilor, mărginitatea și atingerea extremelor pe intervale închise.

Istoric

Ideea de continuitate a fost folosită inițial într-un sens intuitiv, legat de trasarea fără ridicarea creionului de pe hârtie. Precizarea riguroasă a noțiunii aparține analizei secolului al XIX-lea. Într-o formulare modernă, criteriul secvențial este asociat lui Eduard Heine, iar studiul sistematic al funcțiilor continue, al valorilor intermediare și al extremelor a fost dezvoltat în lucrările lui Augustin Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Georg Cantor și Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Dirichlet a contribuit decisiv la înțelegerea conceptului modern funcție, iar Weierstrass și Cantor au clarificat proprietățile globale ale funcțiilor continue pe intervale închise și ale mulțimilor compacte.

Definiții

Fie $f:D\to \mathbb {R}$ o funcție reală de variabilă reală și fie $x_{0}\in D$.

Funcția $f$ se numește continuă în punctul $x_{0}$ dacă:

$x_{0}$ este punct izolat al lui $D$, sau $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$, atunci când $x_{0}$ este punct de acumulare al domeniului.

În această formulare, continuitatea este o proprietate locală, dependentă de comportarea funcției în vecinătatea lui $x_{0}$. Dacă $x_{0}$ este izolat în domeniu, continuitatea este automată, deoarece nu există puncte distincte ale domeniului care să se apropie de $x_{0}$.

Funcția este continuă pe o mulțime $A\subseteq D$ dacă este continuă în fiecare punct al lui $A$. Dacă este continuă pe întreg domeniul său de definiție, se numește simplu funcție continuă.

Criterii echivalente de continuitate

Pentru un punct de acumulare $x_{0}$ al domeniului, următoarele afirmații sunt echivalente:

$f$ este continuă în $x_{0}$; $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$; pentru orice șir $(x_{n})$ cu $x_{n}\in D$ și $x_{n}\to x_{0}$, rezultă $f(x_{n})\to f(x_{0})$.

Această caracterizare secvențială este cunoscută drept criteriul lui Heine.

Definiția epsilon-delta

Funcția $f:D\to \mathbb {R}$ este continuă în $x_{0}\in D$ dacă pentru orice $\varepsilon >0$ există $\delta >0$ astfel încât, pentru orice $x\in D$ cu $|x-x_{0}|<\delta$, să rezulte $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

Această formulare este echivalentă cu cea în termeni de limite și este cea mai folosită în demonstrațiile riguroase.

Continuitatea laterală

Dacă $x_{0}$ este punct de acumulare al domeniului doar la stânga sau doar la dreapta, continuitatea se exprimă prin limite laterale.

Funcția $f$ este continuă la stânga în $x_{0}$ dacă $\lim _{x\to x_{0}-}f(x)=f(x_{0})$.

Funcția $f$ este continuă la dreapta în $x_{0}$ dacă $\lim _{x\to x_{0}+}f(x)=f(x_{0})$.

Pentru o funcție definită pe un interval închis $[a,b]$, continuitatea în capătul stâng este echivalentă cu continuitatea la dreapta în $a$, iar continuitatea în capătul drept este echivalentă cu continuitatea la stânga în $b$.

Dacă în $x_{0}$ există ambele limite laterale și acestea sunt egale, atunci există și limita bilaterală, iar continuitatea se reduce la egalitatea acestei limite cu valoarea funcției.

Relația dintre limită și continuitate

Pentru un punct de acumulare $x_{0}$ al domeniului, continuitatea în $x_{0}$ este echivalentă cu existența limitei funcției în acel punct și cu egalitatea ei cu valoarea funcției: $$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).$$

Această relație arată că noțiunea de continuitate nu este independentă de cea de limită; ea este, de fapt, o proprietate de compatibilitate între valoarea locală a funcției și comportarea sa asimptotică în jurul punctului.

Demonstrație

Dacă $f$ este continuă în $x_{0}$, atunci pentru orice șir $x_{n}\to x_{0}$ rezultă $f(x_{n})\to f(x_{0})$. În particular, valoarea limitei este determinată de valoarea funcției în punct.

Reciproc, dacă pentru orice șir convergent la $x_{0}$ imaginile converge către $f(x_{0})$, atunci prin criteriul secvențial rezultă continuitatea în $x_{0}$.

Interpretare geometrică

Graficul unei funcții continue poate fi privit, în sens intuitiv, ca o curbă fără întreruperi. În jurul unui punct de continuitate, valorile funcției variază fără salturi, iar punctele graficului dintr-o vecinătate suficient de mică a abscisei date rămân într-o vecinătate arbitrar de mică a ordonatei corespunzătoare.

Această interpretare geometrică este utilă, dar nu constituie o definiție. Există funcții cu proprietăți puțin intuitive, iar rigurozitatea analizei impune formulări în termeni de limite și șiruri.

Proprietăți ale funcțiilor continue

Dacă $f,g:D\to \mathbb {R}$ sunt continue în $x_{0}$, atunci și următoarele funcții sunt continue în $x_{0}$:

$$(f+g)(x),\qquad (f-g)(x),\qquad (f\cdot g)(x).$$

Dacă $g(x_{0})\neq 0$, atunci și câtul $f/g$ este continuu în $x_{0}$.

Dacă $f:D\to E$ este continuă în $x_{0}$ și $g:E\to \mathbb {R}$ este continuă în $f(x_{0})$, atunci funcția compusă $g\circ f$ este continuă în $x_{0}$.

Dacă $f$ și $g$ sunt continue în $x_{0}$, atunci și funcțiile $$\max {f,g},\qquad \min {f,g}$$ sunt continue în $x_{0}$, deoarece $$\max {f,g}={\frac {f+g+|f-g|}{2}},\qquad \min {f,g}={\frac {f+g-|f-g|}{2}}.$$

Demonstrație pentru suma și produsul funcțiilor continue

Din $f(x)\to f(x_{0})$ și $g(x)\to g(x_{0})$ rezultă, prin regulile de calcul al limitelor, $$(f+g)(x)\to f(x_{0})+g(x_{0}),\qquad (f\cdot g)(x)\to f(x_{0})\cdot g(x_{0}).$$ Prin urmare, suma și produsul sunt continue în $x_{0}$. Cazul câtului se reduce la produsul cu inversa lui $g$, definită în vecinătatea punctului în care $g(x_{0})\neq 0$.

Demonstrație pentru compunere

Dacă $x\to x_{0}$, continuitatea lui $f$ asigură că $f(x)\to f(x_{0})$. Continuitatea lui $g$ în $f(x_{0})$ implică atunci $$g(f(x))\to g(f(x_{0})),$$ adică $g\circ f$ este continuă în $x_{0}$.

Continuitatea funcțiilor elementare

Funcțiile elementare sunt funcțiile obținute din funcții polinomiale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice și inversele lor, printr-un număr finit de operații algebrice elementare (adunări, înmulțiri, împărțiri) și compuneri funcționale.

Pe domeniile lor naturale de definiție, aceste funcții sunt continue. În particular:

funcțiile polinomiale sunt continue pe $\mathbb {R}$; funcțiile raționale sunt continue în toate punctele domeniului lor de definiție; funcțiile exponențiale sunt continue pe $\mathbb {R}$; funcțiile logaritmice sunt continue pe domeniul lor natural $(0,\infty )$; funcțiile trigonometrice sunt continue pe domeniile lor naturale; funcțiile inverse trigonometrice sunt continue pe intervalele pe care sunt definite.

Prin închiderea stabilită de operațiile algebrice și de compunere, orice funcție elementară este continuă pe domeniul său de definiție.

Exemple reprezentative

Funcția $f(x)=x^{2}$ este continuă pe $\mathbb {R}$, iar funcția $g(x)={\dfrac {1}{x}}$ este continuă pe $\mathbb {R} \setminus {0}$. Funcția $$h(x)=\sin x\cdot \cos x$$ este continuă pe $\mathbb {R}$, deoarece este produsul a două funcții continue.

Funcția definită prin $$u(x)={\begin{cases}x^{2},&x\leq 1\ x+1,&x>1\end{cases}}$$ este continuă în toate punctele domeniului ei, cu excepția eventuală a lui $x=1$; continuitatea în acest punct se verifică prin egalitatea dintre limita stângă, limita dreaptă și valoarea funcției.

Continuitatea funcției inverse

Dacă $f:I\to J$ este continuă și bijectivă, unde $I$ și $J$ sunt intervale, atunci funcția inversă $f^{-1}:J\to I$ este continuă.

Demonstrație

O funcție continuă și injectivă pe un interval este strict monotonă. Presupunând, de exemplu, că este strict crescătoare, atunci și inversa este strict crescătoare. Fie $y_{0}\in J$ și $x_{0}=f^{-1}(y_{0})$. Pentru orice $\varepsilon >0$, valorile $f(x_{0}-\varepsilon )$ și $f(x_{0}+\varepsilon )$ delimitează o vecinătate a lui $y_{0}$. Din continuitatea și monotonia lui $f$ rezultă că orice $y$ suficient de apropiat de $y_{0}$ are preimaginea în intervalul $(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )$. Prin urmare, $f^{-1}$ este continuă în $y_{0}$.

Tipuri de discontinuități

Dacă $f$ nu este continuă în $x_{0}$, atunci $x_{0}$ se numește punct de discontinuitate.

Discontinuitate eliminabilă

Punctul $x_{0}$ este o discontinuitate eliminabilă dacă limita finită $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ există, dar este diferită de $f(x_{0})$ sau funcția nu este definită în $x_{0}$. În acest caz, redefinirea valorii funcției în punctul respectiv produce o funcție continuă.

Exemplul clasic este $$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\ 0,&x=0\end{cases}}$$ în forma inițială, pentru care limita în $0$ este $1$. Alegerea valorii $f(0)=1$ oferă prelungirea prin continuitate.

Discontinuitate de prima speță

Un punct de discontinuitate este de prima speță dacă limitele laterale există și sunt finite. În această situație, funcția poate avea un salt în punctul respectiv.

Un exemplu este funcția treaptă definită prin $$s(x)={\begin{cases}1,&x<0\ 2,&x\geq 0\end{cases}}$$ care are în $0$ o discontinuitate de prima speță, deoarece $$\lim _{x\to 0-}s(x)=1,\qquad \lim _{x\to 0+}s(x)=2.$$

Proprietate pentru funcțiile monotone

Orice punct de discontinuitate al unei funcții monotone este de prima speță.

Discontinuitate de a doua speță

Un punct de discontinuitate este de a doua speță dacă cel puțin una dintre limitele laterale nu există sau nu este finită.

Exemplul standard este $$r(x)={\frac {1}{x}}$$ în punctul $0$. Aici limitele laterale sunt infinite, astfel încât discontinuitatea este de a doua speță.

Un alt exemplu este funcția lui Dirichlet, $$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \ 0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$$ care este discontinuă în orice punct al lui $\mathbb {R}$.

Prelungirea prin continuitate

Fie $f:D\to \mathbb {R}$ și fie $x_{0}$ un punct de acumulare al domeniului, astfel încât $f$ nu este definită în $x_{0}$, dar există limita finită $$\ell =\lim _{x\to x_{0}}f(x).$$

Atunci funcția $$g(x)={\begin{cases}f(x),&x\in D\ \ell ,&x=x_{0}\end{cases}}$$ se numește prelungirea prin continuitate a lui $f$ în punctul $x_{0}$.

Exemplu

Funcția $f(x)={\dfrac {\sin x}{x}}$ pentru $x\neq 0$ admite prelungirea prin continuitate în origine, prin definirea valorii $g(0)=1$. Funcția obținută este continuă pe $\mathbb {R}$.

Teorema valorilor intermediare

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ este continuă și $y$ este un număr cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, atunci există $c\in [a,b]$ astfel încât $f(c)=y$.

Această proprietate este cunoscută și sub numele de proprietatea lui Darboux pentru funcțiile continue pe intervale.

Teorema lui Bolzano

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ este continuă și $f(a)\cdot f(b)<0$, atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât $f(c)=0$.

Demonstrație

Se consideră mulțimea $$H={x\in [a,b]\mid f(x)<0}.$$ Aceasta este nevidă și mărginită. Fie $s=\sup H$. Din continuitatea lui $f$ rezultă că $f(s)=0$. Într-o demonstrație echivalentă se poate folosi metoda înjumătățirii intervalului, împreună cu teorema lui Cantor despre intervale închise imbricate.

Teorema lui Cantor

Dacă $[a_{n},b_{n}]$ este o familie de intervale închise imbricate, $$[a_{1},b_{1}]\supseteq [a_{2},b_{2}]\supseteq \cdots$$ și dacă $b_{n}-a_{n}\to 0$, atunci intersecția lor conține un singur punct.

Această teoremă este esențială în demonstrația teoremei lui Bolzano prin metoda bisecției.

Demonstrație

Șirurile $(a_{n})$ și $(b_{n})$ sunt monotone și mărginită; prin completitudinea numerelor reale, ele au limite. Condiția $b_{n}-a_{n}\to 0$ implică egalitatea limitelor, deci intersecția tuturor intervalelor conține exact un punct.

Teorema lui Weierstrass

Dacă $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ este continuă pe intervalul închis și mărginit $[a,b]$, atunci:

$f$ este mărginită; există $\alpha ,\beta \in [a,b]$ astfel încât $$f(\alpha )=\min _{x\in [a,b]}f(x),\qquad f(\beta )=\max _{x\in [a,b]}f(x).$$

Această proprietate este una dintre consecințele fundamentale ale compactității intervalelor închise.

Demonstrație

Dacă imaginea lui $f$ nu ar fi mărginită, s-ar putea construi un șir $(x_{n})\subseteq [a,b]$ astfel încât $|f(x_{n})|\to \infty$. Din faptul că $[a,b]$ este închis și mărginit rezultă existența unui subșir convergent $x_{n_{k}}\to x_{0}\in [a,b]$. Continuitatea lui $f$ ar impune convergența lui $f(x_{n_{k}})$ către $f(x_{0})$, contradicție.

Odată stabilită mărginitatea imaginii, se folosesc supremul și infimumul acesteia. Printr-un argument secvențial, valorile extreme sunt atinse în puncte ale intervalului.

Aplicații ale noțiunii

Continuitatea este folosită în mod sistematic la studierea ecuațiilor și inegalităților, la determinarea punctelor fixe, la localizarea extremelor și la justificarea prelungirilor de funcții.

În rezolvarea ecuațiilor de forma $f(x)=0$, continuitatea permite folosirea teoremei lui Bolzano: dacă valorile lui $f$ la capetele unui interval au semne opuse, atunci ecuația are cel puțin o soluție în interiorul intervalului.

În analiza extremelor, teorema lui Weierstrass garantează că o funcție continuă pe un interval închis își atinge minimul și maximul, ceea ce face posibilă optimizarea fără ipoteze suplimentare.

În studiul funcțiilor definite pe porțiuni, continuitatea este criteriul de lipire a expresiilor analitice în punctele de separație. Condiția obișnuită este egalitatea celor două limite laterale cu valoarea funcției în punctul de îmbinare.

Exemple matematice reprezentative

Funcția $$f(x)={\begin{cases}x+1,&x\leq 0\ 2x+2,&x>0\end{cases}}$$ este continuă la stânga în $0$, deoarece limita din stânga și valoarea funcției coincid, dar nu este continuă la dreapta dacă valoarea la dreapta nu se potrivește cu aceeași valoare comună.

Funcția $$g(x)={\begin{cases}\sin x/x,&x\neq 0\ 1,&x=0\end{cases}}$$ este continuă pe $\mathbb {R}$ după prelungirea prin continuitate.

Funcția parte întreagă $[x]$ este discontinuă în fiecare număr întreg, iar funcția fracționară ${x}=x-[x]$ este continuă pe intervalele dintre întregi și are discontinuități de prima speță în întregi.

Bibliografie

• MATEMATICĂ Manual pentru clasa a XI-a Trunchi comun + curriculum diferențiat – Editura Carminis, 2006, ISBN 978-973-123-417-5

• Matematica XI M1 – Editura Didactică și Pedagogică, autori: Maftei I. V., Mihai Ion, Pârșan Liviu, Mihai Adela, Nicolescu C. P., 2006, ISBN 978-606-31-0263-9

• Matematicã M1 : manual pentru clasa a XI-a – Gabriela Streinu-Cercel, Gabriela Constantinescu, Gabriela Oprea ș.a., Editura Sigma, 2006, ISBN 978-973-649-264-8

Vezi și

• Limită a unei funcții

• Derivată