Fórmulas de Viète

Em matemática, as fórmulas de Viète são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio a somas e produtos de suas raízes. Esta denominação deve-se a François Viète, e são usadas especialmente em álgebra.

Leis

Fórmulas básicas

Um polinômio geral qualquer de grau n

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,$

(sendo os coeficientes números reais ou complexos e a_n ≠ 0) tem, conforme estabelece o teorema fundamental da álgebra, n raízes complexas (não necessariamente distintas) x₁, x₂, ..., x_n. As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio { a_k } com somas e produtos (positivos ou negativos) de suas raízes { x_i } como segue:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Estabelecido de forma equivalente, o (n − k)-ésimo coeficiente a_n−k é relacionado à soma acrescida de sinal de todos os possíveis subprodutos de raízes, tomando k por exemplo:

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

para k = 1, 2, ..., n (onde os índices i_k são expressos em ordem crescente, a fim de garantir que cada subproduto de raízes seja considerado apenas uma vez).

Generalização para anéis

As fórmulas de Viète são frequentemente usadas com polinômios com coeficientes em um domínio de integridade R. Neste caso os quocientes $a_{i}/a_{n}$ pertencem ao anel de frações de R (ou em R mesmo se $a_{n}$ é inversível em R) e as raízes $x_{i}$ são tomadas em um corpo algebricamente fechado. Tipicamente, R é o anel dos inteiros, o campo das frações é o campo dos números racionais e o campo algebricamente fechado é o campo dos números complexos.

As fórmulas de Viète são fudamentais nestas situações, porque fornecem relações entre as raízes sem a necessidade de as determinar.

Para polinômios sobre um anel comutativo que não é um domínio de integridade, as fórmulas de Viète são válidas somente quando $a_{n}$ é um zero não-divisor e $P(x)$ é fatorado como $a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})$. Por exemplo, no anel dos inteiros módulo 8, o polinômio $P(x)=x^{2}-1$ tem quatro raízes: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète não são válidas se, por exemplo, $x_{1}=1$ e $x_{2}=3$, porque $P(x)\neq (x-1)(x-3)$. Contudo, $P(x)$ fatora como $(x-1)(x-7)$ e como $(x-3)(x-5)$, e as fórmulas de Viète são válidas se fixamos $x_{1}=1$ e $x_{2}=7$ ou $x_{1}=3$ e $x_{2}=5$.

Exemplos gerais

Fórmulas de Viète aplicadas a polinômios quadráticos e cúbicos:

Para polinômios de segundo grau $P(x)=ax^{2}+bx+c$, as raízes $x_{1},x_{2}$ da equação $P(x)=0$ satisfazem

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

A primeira destas equações pode ser usada para encontrar o mínimo (ou máximo) de P.

Para o polinômio cúbico $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, as raízes $x_{1},x_{2},x_{3}$ da equação $P(x)=0$ satisfazem

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Prova

As fórmulas de Viète podem ser provadas por expansão da igualdade

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$

que é verificada como válida sendo $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ todas raízes deste polinômio, expandindo esta expressão e identificando os coeficientes de cada potência de $x.$

Formalmente, expandindo $(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}),$ os termos são exatamente $(-1)^{n-k}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}x^{k},$ onde $b_{i}$ é 0 ou 1, sendo $x_{i}$ incluído no produto ou não, e k é o número de $x_{i}$ que são excluídos, sendo o número total de fatores no produto n (contando $x^{k}$ com multiplicidade k) – havendo n escolhas binárias (inclusive $x_{i}$ ou x), há $2^{n}$ termos – geometricamente, estes podem ser entendidos como os vértices de um hipercubo. Agrupando estes termos por grau é obtido o polinômio simétrico elementar em $x_{i}$ – para x^k, todos os distintos k-ésimos produtos de $x_{i}.$

Ver também

• Identidades de Newton
• Propriedades de raízes de polinômios
• Teorema das raízes racionais

References

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Viète theorem», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Funkhouser, H. Gray (1930), «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations», Mathematical Association of America, American Mathematical Monthly, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273 

• Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra, ISBN 0-8218-3413-4, American Mathematical Society, Providence, R.I 

• Djukić, Dušan,; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, ISBN 0-387-24299-6, Springer, New York, NY