Anel (matemática)

 Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste numa tripla $(A,+,\cdot )$, o conjunto $A$ com um elemento $0$ e duas operações binárias $+$ e $\cdot$ que satisfazem as seguintes condições:

1. Associatividade de $+:$ $(\forall a,b,c\in A):(a+b)+c=a+(b+c)$
2. Existência de elemento neutro (0) de $+:$ $(\forall a\in A):a+0=0+a=a$
3. Existência de simétrico de $+:$ $(\forall a\in A)(\exists b\in A):a+b=0$
4. Comutatividade de $+:$ $(\forall a,b\in A):a+b=b+a$
5. Associatividade de  :} $\cdot :$ $(\forall a,b,c\in A):(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
6. Distributividade de $\cdot$ em relação a $+$ (à esquerda e à direita): $(\forall a,b,c\in A):a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\wedge \,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Dentro desta estrutura, em particular, temos que $(A,+)$ é um grupo abeliano (comutativo).

E $(A,\cdot )$ é semigrupo.

Além disso em $(A,+,\cdot )$ a multiplicação é distributiva em relação à adição

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

$c\cdot (a+b)=ca+cb$.

Aneis que tem propriedades a mais recebem nomes específicos:

Um anel em o que grupo $(A,\cdot )$ tem identidade diferente do zero de $(A,+)$, diz-se anel de identidade.

Um anel em que o semigrupo $(A,\cdot )$ é comutativo é dito anel comutativo.

Propriedades

• se $a+c=b+c$ então $a=b$.
• se $a+b=a$ para algum $a$, então $b=0$.
• $-(a+b)=-a-b$.

Exemplos

• O conjunto $\mathbb {Z}$ dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais, o conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais, o conjunto $\mathbb {C}$ dos números complexos e os quatérnios.
• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+$ ··· $+a_{1}x+a_{0},$ com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
• O menor anel é formado somente por $0.$
• Seja $(G,+)$ um grupo abeliano e seja End($G$) o conjunto dos endomorfismos de $G.$ Se, dados $f,g$ ∈ End($G$), se definir a adição de $f+g$ ∈ End($G$) de $f$ com $g$ por $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ então End($G$) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.
• Um anel de divisão é um anel $(A,+,\;\cdot \;)$ em que $(A$ \ {$0$}$,\;\cdot \;)$ é um grupo.
• Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

Divisores de zero

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam $A$ um anel e $a$ um elemento de $A$ diferente de $0.$ Diz-se que $a$ é um divisor de zero se existir algum $b$ ∈ $A$ \ $\{0\}$ tal que $a.b=0$ ou que $b.a=0.$

Exemplos:

• O anel $\mathbb {Z}$ dos números inteiros não tem divisores de zero.
• Seja $n$ um número natural maior do que $1$ e seja $\mathbb {Z} _{n}=\{0,,\ldots ,n-1\}$ com a adição e o produto assim definidos: se $a,b$ ∈ $\mathbb {Z} _{n},$ então $a+b$ é o resto da divisão por $n$ da soma dos números inteiros $a$ e $b$ e $a.b$ é o resto da divisão por $n$ do produto dos números inteiros $a$ e $b.$ Então $\mathbb {Z} _{n},$ tem divisores de zero quando e só quando $n$ for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que $a.b=n$ então, em $\mathbb {Z} _{n},$$a.b=0.$

Ideais

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam $A$ um anel e $I$ um subconjunto não vazio de $A.$ Diz-se que $I$ é um ideal à esquerda de $A$ se

1. $I\neq A$
2. $(\forall i,j\in I):i+j\in I$
3. $(\forall a\in A)(\forall i\in I):a.i\in I$

Diz-se que $I$ é um ideal à direita de $A$ se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

$(\forall a\in A)(\forall i\in I):i.a\in I$

Diz-se que $I$ é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso $A$ seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se $m$ ∈ Z\{±$1$}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de $m$ é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
• Seja $A$ o conjunto das funções $f$ de R² em R² da forma

$f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),$

onde $a,b,c,d$ ∈ R. Então, se $0$ for a função nula, se $+$ for a adição de funções e se $.$ for a composição, então $A$ é um anel (não comutativo). Se

$I=\{f\in A\,|\,f(1,0)=(0,0)\},$

então $I$ é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se $A$ for um anel e $I$ for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em $A$ a relação de equivalência ∼ assim definida:

$a$ ∼ $b$ se e só se $a-b$ ∈ $I.$

Se $a$ ∈ $A,$ seja $a+I$ a sua classe de equivalência; seja $A/I$ o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,$

$(A/I,+)$ é novamente um grupo abeliano. Além disso, se $I$ for um ideal à esquerda e se $a$ ∈ $A,$ então faz sentido definir a função

${\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &a.b+I\end{array}}$

Analogamente, se $I$ for um ideal à direita e se $a$ ∈ $A,$ então faz sentido definir a função

${\begin{array}{ccc}A/I&\longrightarrow &A/I\\b+I&\mapsto &b.a+I\end{array}}$

Caso $I$ seja um ideal bilateral, $A/I$ volta a ser um anel se se definir

$(a+I).(b+I)=a.b+I$

Ver também

• Teoria dos anéis
• Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
• Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.

Bibliografia

• R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. [S.l.]: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6 
• Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
• Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
• T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. [S.l.]: Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2 
• Dresden, G. "Small Rings."
• Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
• Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
• Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
• Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
• Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
• Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
• Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
• Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra, ISBN 978-0-387-22025-3 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag .
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, ISBN 978-0-521-36764-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2nd ed. , Cambridge University Press 
• McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
• Pinter-Lucke, James (2007), «Commutativity conditions for rings: 1950–2005», Expositiones Mathematicae, ISSN 0723-0869, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001 
• Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
• Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995