Epimorfizm

Diagram przemienny epimorfizmu

Epimorfizm – w teorii kategorii, morfizm $f\colon X\to Y$ mający prawostronną własność skracania, tj. dla wszystkich morfizmów $g_{1},g_{2}\colon Y\to Z$ spełniony jest warunek:

$g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

Epimorfizmy są odpowiednikami funkcji „na”, lecz nie są one z nimi tożsame. Pojęciem dualnym do epimorfizmu jest monomorfizm.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje epimorfizm jako homomorfizm „na” (surjektywny). Każdy epimorfizm w tym sensie algebraicznym jest epimorfizmem w sensie teorii kategorii, ale nie jest to prawdą we wszystkich kategoriach.

Epimorfizm konormalny

Jeśli dany epimorfizm jest kojądrem jakiegoś morfizmu, to nazywany jest on wówczas epimorfizmem konormalnym.

Jeśli każdy epimorfizm danej kategorii jest epimorfizmem konormalnym, to nazywa się kategorią konormalną. Każda z kategorii Gr, Ab, Vect jest konormalna. Kojądro w tych kategoriach istnieje dla każdego morfizmu

$\alpha \colon A\to B.$

Jest ono równe grupie ilorazowej $B/G,$ gdzie $G$ jest najmniejszą podgrupą normalną zawierającą $\alpha (A).$

Przykłady

• Epimorfizmami w kategorii Set są odwzorowania „na”.

Niech $f\colon X\to Y$ będzie epimorfizmem, a jednocześnie istnieje taki $y_{0}\in Y\setminus f(X).$ Niech $y_{1}\in f(X).$ Niech $Z=\{y_{0},y_{1}\}$ oraz

$g_{0}(y)=y_{0}$ dla $y\in Y,$

$g_{1}(y)={\begin{cases}y_{0},&y\in f(X)\\y_{1},&y\notin f(X)\end{cases}}.$

Wtedy $g_{0}f=g_{1}f$ i $g_{0}\neq g_{1},$ co jest sprzeczne z tym, że $f$ jest epimorfizmem. Zatem nie istnieje $y_{0}\in Y\setminus f(X)$ i funkcja $f$ jest „na”.

• Morfizmy identycznościowe są epimorfizmami.

Zobacz też

• izomorfizm
• monomorfizm

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Literatura dodatkowa

• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
• Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).