Grop (matematicas)

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

Estructura de grop

Definicions

L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat $(G,\,*)$ es un ensemble $G$ provesit d'una lèi de composicion intèrna $*$ satisfasent leis axiòmas seguents :

• associativitat : $\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,\forall \,z\in G,x*(y*z)=(x*y)*z$
• existéncia d'un element neutre : $\exists \,e\in G,\,\forall x\in G,x*e=e*x=x$ ; se saup que e es unic
• tot element de $G$ es simetrizable : $\forall \,x\in G,\,\exists \,x'\in G,x*x'=x'*x=e$ ; se saup que per cada element $x$ de $G$ , l'element $x'$ es unic : es sonat simetric de $x$.

Se ditz que $G$ es l'ensemble sosjacent au grop $(G,\,*)$. Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.

Terminologia : en luòga de dire que lo pareu $(G,\,*)$ es un grop, se ditz sovent que «l'ensemble $G$, provesit de la lèi de composicion intèrna $*$, es un grop» ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar $G$ en plaça de $(G,\,*)$ (l'operacion intèrna es sosentenduda).

Commutacion e commutativitat

Siá un grop $(G,\,*)$ .

Commutacion d'elements

Se ditz que dos elements a, b de G commutan se $\ a*b=b*a$ .

Per exemple, tot element a commuta :

• amb eu meteis : $\ a*a=a*a$
• amb l'element neutre : $\ a*e=e*a=a$
• amb son simetric : $\ a*a'=a'*a=e$

Grop commutatiu

Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :

• $\ \forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,x*y=y*x$ (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

Notacions

La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Grop multiplicatiu

Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :

• s'escriu : x · y o x y en plaça de : $\ x*y$

• l'element neutre se nòta "1" o "1_G" (element unitat de G)

• per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta $x^{-1}$

Grop additiu

Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :

• s'escriu : x + y en plaça de : $\ x*y$

• l'element neutre se nòta "0" o "0_G" (element nul, o zèro de G)

• per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta $-x$

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

Premierei proprietats

Estent un grop $(G,\,*)$ onte lo simetric de cada element x se nòta x'  :

• e' = e (lo simetric de l'element neutre e es e)

• $\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G,\,(x*y)'=y'*x'$ (simetric dau compausat de dos elements)

• $\forall \,x\in G,\,(x')'=x$ (simetric dau simetric d'un element)

Exemples

• L'ensemble $\mathbb {Z}$ deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble $\mathbb {Q}$ dei racionaus, de l'ensemble $\mathbb {R}$ dei reaus, e de l'ensemble $\mathbb {C}$ dei complèxes.

• L'ensemble $\mathbb {Q} ^{\ast }$ dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble $\mathbb {R} ^{\ast }$ dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble $\mathbb {C} ^{\ast }$ dei complèxes diferents de 0.

• L'ensemble ${\mathcal {S}}(X)$ dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.

• L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de l'addicion, es un grop commutatiu.

• L'ensemble dei matritz carradas invertiblas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un grop ; tre que n es diferent de 1, aquest grop es pas commutatiu.

• Siá ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ l'ensemble dei partidas d'un ensemble $\ \Omega$ . Estent dos elements A, B de ${\mathcal {E}}$ , se definís sa diferéncia simetrica, notada $\ A\vartriangle B$ :

$\ A\vartriangle B=(A\,\setminus B)\cup (B\,\setminus A)=(A\cup B)\,\setminus (A\cap B)$ .

L'ensemble ${\mathcal {E}}$ , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja $\varnothing$, e cada element de ${\mathcal {E}}$ es son pròpri simetric : per tota partida A de $\ \Omega$,

$\ A\vartriangle \varnothing =A$ e $\ A\vartriangle A=\varnothing$

Còntraexemples

• L'ensemble $\mathbb {N}$ deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins $\mathbb {N}$ es 0.
• L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
• L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

Iterats d'un element per la lèi dau grop

S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu

Estent un grop multiplicatiu $(G,\,\cdot )$ , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

• $x^{m}=x\cdots x$ (produch de m factors egaus a x)

• $\ x^{-m}=(x')^{m}$ (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular, $x^{-1}=x'$, çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs

• $\ x^{0}=1_{G}$

Se definís ansin una aplicacion $\ \mathbb {Z} \times G\to G,\,(n,\,x)\mapsto x^{n}$ sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element $x^{n}$ es la poténcia d'exponent n de x.

Proprietats de l'exponenciacion

$\forall \,n\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,p\in \mathbb {Z} ,\forall x\in G$ :

• $x^{n+p}=x^{n}\cdot x^{p}$

• $\left(x^{n}\right)^{\,p}=x^{n\,p}$

Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau $(x\cdot y)^{n}\neq x^{n}\cdot y^{n}$. Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu : $(x\cdot y)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}$

Multiples d'un element d'un grop additiu

Estent un grop additiu $(G,\,+)$ , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :

• $m\cdot x=x+\cdots +x$ (soma de m tèrmes egaus a x)

• $(-m)\cdot x=m\cdot x'$ (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular, $(-1)\cdot x=x'$, çò que justifica la notacion usuala de l'opausat

• $0\cdot x=0_{G}$

Se definís ansin una aplicacion $\ \mathbb {Z} \times G\to G,\,(n,\,x)\mapsto n\cdot x$ qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element $\ n\cdot x$ es lo multiple de coefficient n de x.

Proprietats

$\forall \,n\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,p\in \mathbb {Z} ,\,\forall \,x\in G,\,\forall \,y\in G$ :

• $(n+p)\cdot x=(n\cdot x)+(p\cdot x)$

• $n\cdot (p\cdot x)=(n\,p)\cdot x$

• $n\cdot (x+y)=(n\cdot x)+(n\cdot y)$

Sosgrop

Definicion

Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :

• $\forall \,x\in H,\,\forall \,y\in H,\,x*y\in H$
• $\forall \,x\in H,\,\,x'\in H$

Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :

• $\forall \,x\in H,\,\forall \,y\in H,\,x*y'\in H$

Exemples

Dins un grop G :

• l'ensemble $\{e\}$ que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
• l'ensemble $Z(G)$ deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:

$Z(G)=\{x\in G\mid \forall \,y\in G,\,x*y=y*x\}$

Morfisme de grops

Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

Definicions

• Sián dos grops $(G_{1},\,\ast )$ (d'element neutre $e_{1}$) e $(G_{2},\,\star )$ (d'element neutre $e_{2}$) . Un morfisme de $(G_{1},\,\ast )$ vèrs $(G_{2},\,\star )$ es per definicion una aplicacion $f:G_{1}\to G_{2}$ tala que

$\ \forall \,(x,\,y)\in G_{1}^{2},\;f(x*y)=f(x)\star f(y)$

• En particular, un endomorfisme dau grop $(G,\,\ast )$ es un morfisme de $(G,\,\ast )$ vèrs eu meteis.

• Estent un morfisme $\ f$ de $(G_{1},\,\ast )$ vèrs $(G_{2},\,\star )$ , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de $\ G_{1}$ ), notat $\ \ker(f)$ , e son imatge (sosensemble de $\ G_{2}$ ), notat $\ \mathrm {im} (f)$ :

$\ker(f)=\{x\in G_{1}\mid f(x)=e_{2}\}=f^{-1}(\{e_{2}\})$

$\ \mathrm {im} (f)=\{y\in G_{2}\mid \exists \,x\in G_{1},\,f(x)=y\}=f(G_{1})$

• Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).

• Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

Proprietats

• Siá un morfisme $\ f$ de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{2},\,\cdot )$ (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
  • $\ f(e_{1})=e_{2}$ : l'imatge per $\ f$ de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
  • Per tot element x de $\ G_{1}$, $\ f(x^{-1})=f(x)^{-1}$ : l'imatge per $\ f$ de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
  • Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins $\ G_{1}$ e n es un entier : $f\left(x^{n}\right)=(f(x))^{\,n}$.

• L'aplicacion identica de $\ G_{1}$ es un automorfisme de $(G_{1},\,\cdot )$ .

• La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius $(G_{1},\,\cdot )$ , $(G_{2},\,\cdot )$ , $(G_{3},\,\cdot )$ e dos morfismes $\ f$ de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{2},\,\cdot )$ , $\ g$ de $(G_{2},\,\cdot )$ vèrs $(G_{3},\,\cdot )$ .
  Alora, l'aplicacion compausada $\ g\circ f$ es un morfisme de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{3},\,\cdot )$.
  En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.

• L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.

• L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.

• La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de $(G_{1},\,\cdot )$ vèrs $(G_{2},\,\cdot )$ es un isomorfisme de $(G_{2},\,\cdot )$ vèrs $(G_{1},\,\cdot )$ dich isomorfisme recipròc.

Exemples

• Estent un reau a, l'aplicacion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto a\,x$ es un endomorfisme dau grop additiu $\mathbb {R}$ ; se $\ a\neq 0$ , $f$ es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion $f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto a^{-1}\,x$

• L'aplicacion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{\ast },\,x\mapsto \exp {x}$ es un isomorfisme dau grop additiu $\mathbb {R}$ vèrs lo grop multiplicatiu $\mathbb {R} _{+}^{\ast }$ (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
  • es bijectiva
  • $\ \forall \,(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2},\;\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$

L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion $f^{-1}:\mathbb {R} _{+}^{\ast }\to \mathbb {R} ,\,y\mapsto \ln {y}$

Annèxas

Liames intèrnes

• Algèbra.
• Matematicas.

Bibliografia

• (fr) Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001.
• (fr) Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, 2004.
• (fr) Felix Ulmer, Théorie des groupes - Cours et exercices, Ellipses, 2012.