Ņūtona binoms

Paskāla trijstūris sastāv no binomiālkoeficientiem, kas tiek izmantoti Ņūtona binomā

Ņūtona binoms elementārajā algebrā ir binoma x+y izvirzījums n-tajā pakāpē:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},$

kur ${\tbinom {n}{k}}$ ir binomiālkoeficienti un n ir naturāls skaitlis. Ņūtona binomu var arī uzrakstīt kā izvirzījumu:

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n}.$

Saskaņā ar Ņūtona binomu, ir iespējams (x + y)ⁿ pārvērst summā, kura sastāv no atsevišķiem locekļiem formā ax^by^c, kur b un c ir nenegatīvi skaitļi (jāizpildās vienādībai b + c = n), savukārt koeficients a ir pozitīvs skaitlis, kas atkarīgs no n un b. Binomiālkoeficienti tiek ņemti no Paskāla trijstūra.

Šī ir viena no kombinatorikas un polinomu algebras pamatformulām. Pirmie to sāka lietot arābu matemātiķi 11. gadsimtā.

Ņūtona binoma izvirzījumi

Šeit ir uzskaitīti Ņūtona binoma izvirzījumi līdz n = 7.

${\begin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}$

Skatīt arī

• Saīsinātās reizināšanas formulas

Ārējās saites

• Ņūtona binoms