매끄러운 다양체

미분기하학에서 매끄러운 다양체(영어: smooth manifold) 또는 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.

정의

자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, $n$ 차원 다양체 $M$ 위의 좌표근방계(座標近傍系, 영어: atlas) $\Phi$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\Phi$ 는 함수의 집합이며, $\Phi$ 의 각 원소 $\phi \in \Phi$ 는 매장 $\phi \colon \operatorname {dom} \phi \hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 이다. 또한, 정의역 $\operatorname {dom} \phi \subseteq M$ 은 $M$ 의 열린 집합이며, 치역 $\phi (\operatorname {dom} \phi )$ 는 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 열린 집합이다.

이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

$\bigcup _{\phi \in \Phi }\operatorname {dom} \phi =M$ . 즉, $\{\operatorname {dom} \phi \}_{\phi \in \Phi }$ 는 $M$ 의 열린 덮개이다.
임의의 $\phi ,\psi \in \Phi$ 에 대하여, 만약 $\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi \neq \varnothing$ 이라면, $\psi |_{\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi }\circ \phi ^{-1}|_{\phi (\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi )}\colon \phi (\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi )\to \psi (\operatorname {dom} \phi \cap \operatorname {dom} \psi )$ 는 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 추이 사상(영어: transition map)이라고 한다.

매끄러운 다양체 $(M,\Phi )$ 는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을 ${\mathcal {C}}^{k}$ 로 약화시킨다면, 이를 ${\mathcal {C}}^{k}$ 다양체라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시킨다면, 이를 해석 다양체(解析多樣體, 영어: analytic manifold)라고 한다.

같은 다양체 $M$ 위의 두 좌표근방계 $\Phi$ , $\Phi '$ 에 대하여, 만약 $\Phi \cup \Phi '$ 이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 호환된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한, $M$ 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 $\subseteq$ 에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소를 극대 좌표근방계(座標近傍系, 영어: maximal atlas)라고 한다. 임의의 좌표근방계 $\Phi$ 에 대하여 $\Phi \subseteq \Phi '$ 인 극대 좌표근방계 $\Phi '$ 이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류와 일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 매끄러움 구조(영어: smooth structure)라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 $f\colon (M,\Phi )\to (N,\Psi )$ 는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.

임의의 $\phi \in \Phi$ 및 $\psi \in \Psi$ 에 대하여, 만약 $f(\operatorname {dom} \phi )\cap \operatorname {dom} \psi \neq \varnothing$ 이라면, $\psi |_{\operatorname {dom} \psi \cap f(\operatorname {dom} \phi )}\circ \phi ^{-1}|_{\phi (\operatorname {dom} \phi \cap f^{-1}(\operatorname {dom} \psi ))}\colon \phi (\operatorname {dom} \phi \cap f^{-1}(\operatorname {dom} \psi ))\to \psi (\operatorname {dom} \psi \cap f(\operatorname {dom} \phi ))$ 는 (유클리드 공간 사이의) 매끄러운 함수이다.

두 ${\mathcal {C}}^{k}$ 다양체 사이의 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주는 $\operatorname {Diff}$ 라고 쓴다. 이 범주에서의 동형을 미분동형이라고 한다.

성질

$k\geq 1$ 에 대하여, ${\mathcal {C}}^{k}$ 다양체의 범주는 매끄러운 다양체의 범주와 동치이다. 다양체 $M$ 위의 임의의 ${\mathcal {C}}^{k}$ 좌표근방계 $\Phi$ 에 대하여, 이와 ${\mathcal {C}}^{k}$ -호환되는 유일한 (매끄러운) 극대 좌표근방계 $\Phi _{\infty }$ 가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 해슬러 휘트니가 증명하였다. 따라서, ${\mathcal {C}}^{k}$ 다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.

범주론적 성질

매끄러운 다양체의 범주 $\operatorname {Diff}$ 는 유한 곱을 가지며, 다양체의 범주로의 망각 함자 $\operatorname {Diff} \to \operatorname {TopMfd}$ 는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체 $(M,\Phi )$ 와 $(N,\Psi )$ 의 곱 $(M\times N,\Phi \times \Psi )$ 는 다음과 같다.

$M\times N$ 은 (위상 공간으로서의) 곱공간이다.
$\Phi \times \Psi =\{(m,n)\in \operatorname {dom} \phi \times \operatorname {dom} \psi \mapsto (\phi (m),\psi (n))\in \mathbb {R} ^{\dim M}\times \mathbb {R} ^{\dim N}\colon \phi \in \Phi ,\psi \in \Psi \}$ 이다.

$M\times N$ 은 $\dim M+\dim N$ 차원 매끄러운 다양체이다. 그러나 두 매끄러운 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.

매끄러움 구조의 존재와 유일성

3차원 이하의 차원의 다양체는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.

분류

3차원 이하에서, 모든 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 갖는다. 따라서, 3차원 이하의 매끄러운 다양체의 분류는 다양체의 분류와 같다.

0차원 매끄러운 다양체 $S$ 는 이산 공간이다. 이 위에는 유일한 극대 좌표근방계가 존재하며, 구체적으로 $S$ 의 임의의 부분 집합에서 $\mathbb {R} ^{0}=\{0\}$ 으로 가는 모든 함수들의 집합이다.
1차원 매끄러운 다양체의 각 연결 성분은 원 $S^{1}$ 또는 실수선 $\mathbb {R}$ 이다.
2차원 매끄러운 다양체의 분류는 매우 복잡하지만, 콤팩트 2차원 매끄러운 다양체들은 그 오일러 지표에 따라 간단히 분류된다.
3차원 콤팩트 매끄러운 다양체는 기하화 추측에 따라 분류된다.

4차원의 경우, 콤팩트 다양체들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 매끄러움 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 매끄러운 다양체들은 수술 이론을 사용하여 분류된다.

예

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 열린 집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 에, 하나의 포함 함수로만 구성된 다음과 같은 좌표근방계를 부여하자.

$\{\iota _{U}\colon U\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}$

이는 좌표근방계를 이루며, 이를 부여하면 $U$ 은 $n$ 차원 매끄러운 다양체를 이룬다.

초구 $S^{n}$ 나 원환면 $T^{n}$ 등 역시 매끄러운 다양체의 예이다.

참고 문헌

Kanakoglou, Konstantinos (2012년 4월 10일). “The notion of abstract manifold: a pedagogical approach”. arXiv:1204.2191. Bibcode:2012arXiv1204.2191K.

같이 보기

외부 링크

“Differentiable manifold” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Smooth manifold” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Smooth manifold” (영어). 《nLab》.
“Diff” (영어). 《nLab》.
김혁; 김명일; 김선영; 조재현; 최진원; 김래용; 임숙빈 (2003년 8월). “미분다양체 강의록”. 서울대학교.