멱집합

하세 도형으로 표현한 $\{x,y,z\}$의 멱집합

집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다.

정의

집합 $X$의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 또는 $2^{X}$는 $X$의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다.

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}(X)&=\{S|S\subseteq X\}\\&=\{S|\forall s\in S\colon s\in X\}\end{aligned}}$

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 멱집합 공리(영어: axiom of power set)는 다음과 같은 명제이다.

• 임의의 집합 $X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합 ${\mathcal {Y}}$가 존재한다.
  • 임의의 집합 $S$에 대하여, 만약 (임의의 $s\in S$에 대하여 $s\in X$)라면, $S\in {\mathcal {Y}}$이다.

이는 ZFC의 공리이며, 특히 참이다. 멱집합 공리 및 다른 ZFC 공리들로부터, 임의의 집합 $X$의 멱집합의 존재를 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 집합 ${\mathcal {Y}}$를 잡자. 그렇다면, 분류 공리꼴에 따라, 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.

${\mathcal {Y}}'=\{S\in {\mathcal {Y}}|\forall s\in S\colon s\in X\}$

또한, ${\mathcal {Y}}$의 선택에 따라, ${\mathcal {Y}}'$는 $X$의 멱집합을 이룬다. 확장 공리에 따라, 임의의 집합의 멱집합은 유일하다.

성질

크기

집합 $X$의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$의 크기는

$|{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}$

이다. 여기서 $|X|$는 $X$의 크기를 나타내며, $2^{|X|}$는 기수의 거듭제곱을 나타낸다. 만약 $X$가 유한 집합일 경우, $|X|$는 ($X$의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다.

다음과 같은 부등식이 성립한다.

$|{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}\geq |X|^{+}>|X|$

여기서 $|X|^{+}$는 $|X|$보다 큰 최소의 기수이다 (선택 공리를 가정하면 이는 항상 존재한다). 이를 칸토어 정리라고 한다. 이에 따라, 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$의 크기는 항상 원래 집합 $X$의 크기보다 크다. 특히, $X$가 가산 무한 집합인 경우 $2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}$이다. 명제 $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$는 연속체 가설이라고 부른다. 연속체 가설과 그 부정 모두 ZFC에서 증명할 수 없다.

순서론적 성질

집합 $X$의 멱집합은 부분 집합 관계에 대하여 완비 불 대수 $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$를 이룬다. 최소 원소는 공집합 $\varnothing \in {\mathcal {P}}(X)$, 최대 원소는 원래의 집합 $X\in {\mathcal {P}}(X)$, 이음은 합집합 $\cup$, 만남은 교집합 $\cap$이다. 또한, 임의의 부분 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$의 상한은 합집합

$\bigcup {\mathcal {S}}=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\in {\mathcal {P}}(X)$

으로 주어지며, 하한은 교집합

$\bigcap {\mathcal {S}}=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\in {\mathcal {P}}(X)$

으로 주어진다 ($\textstyle \bigcap \varnothing =X$).

함자성

멱집합과 상은 집합의 범주 $\operatorname {Set}$ 위의 함자

$\operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$

$X\to {\mathcal {P}}(X)$

$(f\colon X\to Y)\mapsto (S\mapsto f(S))$

를 이룬다. 멱집합과 원상은 함자

$\operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

$X\to {\mathcal {P}}(X)$

$(f\colon X\to Y)\mapsto (T\mapsto f^{-1}(T))$

를 이룬다.

예

공집합의 멱집합은 공집합을 원소로 가지는 한원소 집합이다.

${\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}$

한원소 집합 $\{x\}$은 공집합과 자기 자신을 부분 집합으로 하므로 그 멱집합은

${\mathcal {P}}(\{x\})=\{\varnothing ,\{x\}\}$

이다.

두원소 집합 $\{a,b\}$의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

• $\varnothing$
• $\{a\}$
• $\{b\}$
• $\{a,b\}$

따라서 그 멱집합은

${\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$

이다.

세원소 집합 $\{a,b,c\}$의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

• $\varnothing$
• $\{a\}$
• $\{b\}$
• $\{c\}$
• $\{a,b\}$
• $\{a,c\}$
• $\{b,c\}$
• $\{a,b,c\}$

따라서 그 멱집합은

${\mathcal {P}}(\{a,b,c\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$

이다.

같이 보기

• 베트 수

외부 링크

• 수학사랑 Q & A (멱집합)
• “Power set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Axiom of the power set” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Power set” (영어). 《nLab》. 
• “Power set” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Axiom of power set” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Definition: power set” (영어). 《ProofWiki》.