casinhf, casinh, casinhl

ヘッダ `<complex.h>` で定義
`float complex casinhf( float complex z );`	(1)	(C99以上)
`double complex casinh( double complex z );`	(2)	(C99以上)
`long double complex casinhl( long double complex z );`	(3)	(C99以上)
ヘッダ `<tgmath.h>` で定義
`#define asinh( z )`	(4)	(C99以上)

1-3) z の複素逆双曲線正弦を計算します。虚軸に沿って区間

[-i; +i]

の外側に分岐切断を持ちます。

4) 型総称マクロ。 z が long double complex 型の場合は casinhl が呼ばれ、 z が double complex 型の場合は casinh が呼ばれ、 z が float complex 型の場合は casinhf が呼ばれます。 z が実数または整数の場合、このマクロは対応する実数の関数 (asinhf、 asinh、 asinhl) を呼びます。 z が虚数の場合、このマクロは関数 asin の対応する実数版を呼んで公式

asinh(iy) = i asin(y)

を実装し、戻り値型は虚数になります。

casinh(conj(z)) == conj(casinh(z)) です。
casinh(-z) == -casinh(z) です。
z が +0+0i であれば、結果は +0+0i です。
z が x+∞i (ただし x は任意の有限な正の値) であれば、結果は +∞+π/2 です。
z が x+NaNi (ただし x は任意の有限な値) であれば、結果は NaN+NaNi であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
z が +∞+yi (ただし y は任意の有限な正の値) であれば、結果は +∞+0i です。
z が +∞+∞i であれば、結果は +∞+iπ/4 です。
z が +∞+NaNi であれば、結果は +∞+NaNi です。
z が NaN+0i であれば、結果は NaN+0i です。
z が NaN+yi (ただし y は任意の有限な非ゼロの値) であれば、結果は NaN+NaNi であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
z が NaN+∞i であれば、結果は ±∞+NaNi (実部の符号は未規定) です。
z が NaN+NaNi であれば、結果は NaN+NaNi です。

ノート

C 標準はこの関数に「complex arc hyperbolic sine」と名付けていますが、双曲線関数の逆関数は面積関数です。引数は双曲的扇形の面積であり、円弧 (arc) ではありません。正しい名前は「complex inverse hyperbolic sine」、あるいは、あまり一般的ではありませんが、「complex area hyperbolic sine」です。

逆双曲線正弦は多値関数であり、複素平面上の分岐切断が要求されます。分岐切断は慣習的に虚軸上の線分 $(- i \infty,- i)$ および $(i, i \infty)$ に置かれます。

逆双曲線正弦の主値の数学的な定義は $asinh z = ln(z + \sqrt 1+z 2)$ です。

任意の z について

asinh(z) = asin(iz) i

が成り立ちます。

例

Run this code

#include <stdio.h>
#include <complex.h>

int main(void)
{
    double complex z = casinh(0+2*I);
    printf("casinh(+0+2i) = %f%+fi\n", creal(z), cimag(z));

    double complex z2 = casinh(-conj(2*I)); // or casinh(CMPLX(-0.0, 2)) in C11
    printf("casinh(-0+2i) (the other side of the cut) = %f%+fi\n", creal(z2), cimag(z2));

    // for any z, asinh(z) = asin(iz)/i
    double complex z3 = casinh(1+2*I);
    printf("casinh(1+2i) = %f%+fi\n", creal(z3), cimag(z3));
    double complex z4 = casin((1+2*I)*I)/I;
    printf("casin(i * (1+2i))/i = %f%+fi\n", creal(z4), cimag(z4));
}

出力:

casinh(+0+2i) = 1.316958+1.570796i
casinh(-0+2i) (the other side of the cut) = -1.316958+1.570796i
casinh(1+2i) = 1.469352+1.063440i
casin(i * (1+2i))/i =  1.469352+1.063440i

参考文献

C11 standard (ISO/IEC 9899:2011):

7.3.6.2 The casinh functions (p: 192-193)

7.25 Type-generic math <tgmath.h> (p: 373-375)

G.6.2.2 The casinh functions (p: 540)

G.7 Type-generic math <tgmath.h> (p: 545)

C99 standard (ISO/IEC 9899:1999):

7.3.6.2 The casinh functions (p: 174-175)

7.22 Type-generic math <tgmath.h> (p: 335-337)

G.6.2.2 The casinh functions (p: 475)

G.7 Type-generic math <tgmath.h> (p: 480)

cacoshcacoshfcacoshl (C99)(C99)(C99)	複素数逆双曲線余弦を計算します (関数) [edit]
catanhcatanhfcatanhl (C99)(C99)(C99)	複素数逆双曲線正接を計算します (関数) [edit]
csinhcsinhfcsinhl (C99)(C99)(C99)	複素数双曲線正弦を計算します (関数) [edit]
asinhasinhfasinhl (C99)(C99)(C99)	逆双曲線正弦 (\({\small\operatorname{arsinh}{x} }\) $arsinh(x)$ ) を計算します (関数) [edit]
asinh の C++リファレンス

cppreference.com

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casinhf, casinh, casinhl

目次

引数

戻り値

エラー処理および特殊な値

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例

参考文献

関連項目

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