Kvadratno ravnjenje

Kvadratnym ravnjenjem (abo ravnjenjem vtorogo stupnja) v algebrě nazyvaje se cělo ravnjenje, ktoro može se napisati v formě $$ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0.$$

Ako koeficienty $a$, $b$ i $c$ sut pravdive, togda tako ravnjenje može imati dva pravdivyh rěšenja, jedno pravdivo rěšenje abo ne imati pravdivyh rěšenij; v tom poslědnjem slučaju, ravnjenje imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Slučaje

$b=c=0$

Ako koeficienty $b$ i $c$ sut obadva ravne nulě, togda ravnjenje imaje formu
$ax^{2}=0$,
i jedinym rěšenjem takogo ravnjenja jest $0$ (nula).

$b=0,c\neq 0$

Ako koeficient $b$ jest raven nulě, a koeficient $c$ ne jest, togda ravnjenje imaje formu
$ax^{2}+c=0$.

Prěměstimo $c$ v pravu čest ravnjenja: $ax^{2}=-c$.

Razdělimo obědvě česti na koeficient $a$ (ktory, kako věmo, odličen jest od nuly): $x^{2}=-{\frac {c}{a}}$.

I, naposlědok, iztrgnemo kvadratny korenj: $x=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$.

Ako koeficienty $a$ i $c$ imajut različne znaky, togda izraz $-{\frac {c}{a}}$ jest dodatny i ravnjenje imaje dva protivpoložnyh pravdivyh rěšenja. V zaměn, ako koeficienty $a$ i $c$ imajut jednaky znak, togda izraz $-{\frac {c}{a}}$ jest odrečny i ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva izmysljene rěšenja, tož protivpoložnyh.

$b\neq 0,c=0$

Ako koeficient $b$ odličen jest od nuly, a koeficient $c$ jest raven, togda ravnjenje imaje formu
$ax^{2}+bx=0$.

Vynesemo obči množitelj $x$ iz zatvorok: $x\left(ax+b\right)=0$.

Proizvod jest ravny nulě togda i samo togda, kogda ponje jeden množitelj jest ravny nulě. To znači, že abo $x=0$, abo $ax+b=0\rightarrow ax=-b\rightarrow x=-{\frac {b}{a}}$.

$b\neq 0,c\neq 0$

Ako žaden koeficient jest raven nulě, togda ravnjenje $ax^{2}+bx+c=0$ se rěšaje slědujučim sposobom:

1. Razdělimo vse koeficienty na $a$: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$.
2. Věmo, že $\left(A+B\right)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$. Možemo napisati ${\frac {b}{a}}$ kako $2\cdot {\frac {b}{2a}}$. Kromě togo, $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$. Dobavimo toj izraz do obohdvoh čestij ravnjenja (koje se ne izměni): $x^{2}+{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$.
3. Prěměstimo izraz ${\frac {c}{a}}$ v pravu čest ravnjenja: $x^{2}+{\frac {b}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$.
4. Možemo napisati: $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$.
5. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$.
6. Prěměstimo izraz ${\frac {b}{2a}}$ v pravu čest ravnjenja: $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$.
7. Naposlědok, napišemo tako: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Tuta formula govori se obča formula kvadratnyh ravnjenij. Izraz $b^{2}-4ac$ govori se diskriminant ravnjenja i označaje se literoju $D$. Od jego znaka zavisi, kakymi sut rěšenja ravnjenja:

• Ako $D>0$, ravnjenje imaje dva pravdive različne rěšenja.
• Ako $D=0$, ravnjenje imaje dva pravdive jednake rěšenja: $x=-{\frac {b}{2a}}$.
• Ako $D<0$, ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Ako koeficient $b$ jest parny ($b=2k$), možemo koristiti tako zvanu skračenu formulu kvadratnyh ravnjenij:
$x=-{\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}$,
kde $k^{2}-ac={\frac {D}{4}}$.

Suma i proizvod rěšenij

Suma rěšenij kvadratnogo ravnjenja jest: $${\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b+{\sqrt {D}}-b-{\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$$

A jih proizvod jest: $${\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {b^{2}-D}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$$.

Iz togo slěduje mnogo svojstv. Napriměr, da by najdti dva čisla, imajuče odpovědno sumu $s$ i proizvod $p$, dostatočno jest razrěšiti ravnjenje $x^{2}-sx+p$.

Kromě togo, ako imajemo tričlen $ax^{2}+bx+c$, možemo go razložiti kako $a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$, kde $x_{1}$ i $x_{2}$ sut nuly tričlena. Zaisto, $$a\left(x^{2}-x_{2}x+x_{1}x+x_{1}x_{2}\right)=a\left(x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}\right)=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)=ax^{2}+bx+c$$

Ako ravnjenje $ax^{2}+bx+c=0$ imaje jedno rěšenje $x=x_{0}$, togda $ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{0}\right)^{2}$.

Grafične razrěšenje kvadratnyh ravnjenij

Ako imajemo dělo samo s pravdivymi čislami, možno takože rěšati kvadratne ravnjenja s pomočju budovanja grafika (paraboly).

• Ako grafik prěsěče os abscis v dvoh točkah, togda rěšenjami ravnjenja sut abscisy tyh toček.
• Ako grafik se dotyče do osi abscis v jednoj točkě, togda rěšenjem ravnjenje jest abscisa toj točky.
• Ako grafik ne prěsěče osi abscis, togda ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij.

Ta metoda ne jest silno točna, ale pozvaljaje najdti razrěšenja s dost dobrym približenjem.

Metoda Po-Shena Loha

V 2018 roku, amerikansky profesor Po-Shen Loh prědložil novu metodu rěšenja kvadratnyh ravnjenij, koja, soglasno jego slovam, jest velje prostějša do zapamětanja.

Ta metoda sostoji se iz takyh krokov:

1. Razdělimo obědvě česti ravnjenja na $a$: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}$.
2. Věmo, že suma ravnjenij jest $-{\frac {b}{a}}$, a jih proizvod jest ${\frac {c}{a}}$. Kromě togo, obadva rěšenja raznet se od svojej polusumy na jedno čislo $u$, ale v različne strany. Tomu možemo napisati: $\left(-{\frac {b}{2a}}+u\right)\left(-{\frac {b}{2a}}-u\right)={\frac {c}{a}}$.
3. Razrěšajuči množenje v lěvoj česti, imajemo tako: ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-u^{2}={\frac {c}{a}}$.
4. Prěměstimo $-u^{2}$ v pravu čest, a ${\frac {c}{a}}$ v lěvu: ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}=u^{2}$.
5. Možemo napisati: $u^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$.
6. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: $u=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$.

Sejčas možemo rěkti, že rěšenja ravnjenja sut $-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$. Tako kako jest soglasno klasičnoj formulě rěšenja kvadratnyh ravnjenij.