Bilangan kardinal

Sebuah fungsi bijektif A, f: X → Y, menunjukkan bahwa himpunan X dan Y memiliki kardinalitas yang sama, yang dalam hal ini bernilai bilangan kardinal 4.

Alef-nol, bilangan kardinal tak terhingga terkecil.

Dalam matematika, bilangan kardinal adalah jenis bilangan yang digunakan untuk mengukur kardinalitas suatu himpunan, yaitu seberapa banyak elemen yang terkandung di dalamnya. Bilangan kardinal yang berkaitan dengan suatu himpunan ⁠$A$⁠ umumnya dilambangkan dengan ⁠$\vert A\vert$⁠, yaitu huruf yang diapit oleh dua garis vertikal. Selain itu, kardinalitas juga dapat dituliskan dengan simbol $A$, $\operatorname {card} (A)$, atau $\#A$.

Bilangan ini pertama kali ditemukan oleh Georg Cantor pada tahun 1874.

Definisi formal

Secara formal, urutan di antara bilangan kardinal didefinisikan sebagai berikut: |X| ≤ |Y| berarti bahwa ada fungsi injektif dari X ke Y. Teorema Cantor–Bernstein–Schroeder menyatakan jika |X| ≤ |Y| dan |Y| ≤ |X| maka |X| = |Y|. Aksioma pilihan setara dengan pernyataan yang diberikan dua set X dan Y, baik |X| ≤ |Y| maupun |Y| ≤ |X|.

Lihat pula

• Bilangan ordinal

Pranala luar

• Cardinality at ProvenMath formal proofs of the basic theorems on cardinality.
• Undergraduate Set Theory more proofs about cardinality - includes proof of infinite cardinal addition in Section 4.2.