Integración por partes

En cálculo, e máis xeralmente na análise matemática, a integración por partes é un proceso que atopa a integral dun produto de funcións en termos da integral do produto da súa derivada e antiderivada. A regra pódese pensar como unha versión para unha integral da regra de diferenciación do produto.

A fórmula de integración por partes di:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}$

Ou, sendo $u=u(x)$ e $du=u'(x)\,dx$ mentres que $v=v(x)$ e $dv=v'(x)\,dx,$ a fórmula pódese escribir de forma máis compacta:

$\int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.$

A primeira expresión escríbese como unha integral definida e a segunda escríbese como unha integral indefinida.

O matemático Brook Taylor descubriu a integración por partes, publicando a idea por primeira vez en 1715. Existen formulacións máis xerais de integración por partes para as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O análogo discreto para secuencias chámase sumatorio por partes.

Teorema

Produto de dúas funcións

O teorema pódese derivar do seguinte xeito. Para dúas funcións continuamente diferenciábeis $u(x)$ e $v(x)$, a regra do produto estabelece:

${\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$

Integrando ámbolos dous lados con respecto a $x$,

$\int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$

e observando que unha integral indefinida é unha antiderivada dá

$u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$

onde prescindimos de escribir a constante de integración. Isto dá a fórmula da integración por partes:

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,$

ou en termos de diferenciais $du=u'(x)\,dx$, $dv=v'(x)\,dx,\quad$

$\int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.$

Aplicacións

Calcular antiderivadas

A integración por partes é unha heurística máis que un proceso puramente mecánico para resolver integrais; dada unha única función para integrar, a estratexia típica é separar coidadosamente esta única función nun produto de dúas funcións u(x) v(x) de forma que a integral residual da fórmula de integración por partes sexa máis fácil de avaliar que a función unida.

Como exemplo sinxelo, consideremos:

$\int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.$

Xa que a derivada de ln(x) é1/x, tomamos (ln(x)) como parte u; xa que a antiderivada de 1/x² é −1/x tomamos 1/x² como part v. A fórmula agora dá:

$\int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-{\frac {1}{x}}+C.$

A antiderivada de −1/x² atópase coa regra da potencia.

Alternativamente, pódese escoller u e v de tal forma que o produto u ′ (∫v dx) simplifica debido á cancelación. Por exemplo, supoñamos que se quere integrar:

$\int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.$

Se escollemos u(x) = ln(|sin( x )|) e v (x) = sec²x, entón u diferénciase como ${\frac {1}{\tan x}}$ usando a regra da cadea e v intégrase como tan x; polo que a fórmula dá:

$\int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ =\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-x+C.$

Polinomios e funcións trigonométricas

Para calcular

$I=\int x\cos(x)\,dx\,,$

facemos:

${\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}$

daquela:

${\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}$

onde C, coma sempre é unha constante de integración.

Funcións exponenciais e trigonométricas

Un exemplo que se usa habitualmente para entender o funcionamento da integración por partes é

$I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.$

Aquí, a integración por partes realízase dúas veces. Primeiro facemos

${\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}$

daquela:

$\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.$

Agora, para avaliar a integral restante, usamos de novo a integración por partes, con:

${\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}$

Entón:

$\int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.$

Xuntando as dúas,

$\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.$

A mesma integral aparece a ambos os dous lados desta ecuación. A integral pódese engadir simplemente a ambos os dous lados para obter

$2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,$

que reordenamos como

$\int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'$

onde outra vez $C$ (e $C'={\frac {C}{2}}$ ) é unha constante de integración.

Funcións multiplicadas pola unidade

Outros dous exemplos coñecidos son cando a integración por partes se aplica a unha función expresada como produto de 1 e de si mesma. Isto funciona se se coñece a derivada da función e tamén a integral desta derivada multiplicada por $x$.

O primeiro exemplo é $\int \ln(x)dx$ . Escribimos isto como:

$I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.$

Sexa:

$u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}$

$dv=dx\ \Rightarrow \ v=x$

logo:

${\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$

O segundo exemplo é a función inversa da tanxente $\arctan(x)$ :

$I=\int \arctan(x)\,dx.$

Reescribe isto como

$\int \arctan(x)\cdot 1\,dx.$

Agora temos:

$u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}$

$dv=dx\ \Rightarrow \ v=x$

entón

${\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}$

utilizando unha combinación do método da regra da cadea inversa e a integral do logaritmo natural.

regra LÍATE

A regra LÍATE é unha regra mnemotécnica para a integración por partes. Implica escoller como u a función que aparece primeiro na seguinte lista:

• L - funcións logarítmicas : $\ln(x),\ \log _{b}(x),$ etc.
• I – funcións trigonométricas inversas (incluíndo as súas análogas hiperbólicas): $\arctan(x),\ \operatorname {arcsec} (x),\ \operatorname {arsinh} (x),$ etc.
• A – funcións alxébricas (como polinomios): $x^{2},\ 3x^{50},$ etc.
• T - funcións trigonométricas (incluíndo análogas hiperbólicas ): $\sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),$ etc.
• E - funcións exponenciais : $e^{x},\ 19^{x},$ etc.

A función que debe ser dv é a que aparece en último lugar da lista. O motivo é que as funcións inferiores na lista xeralmente teñen antiderivadas máis simples que as funcións anteriores. A regra ás veces escríbese como "DETAIL", onde D significa dv e a parte superior da lista é a función escollida para ser dv.

Para demostrar a regra LÍATE, considere a integral

$\int x\cdot \cos(x)\,dx.$

Seguindo a regra LÍATE, u = x, e dv = cos(x) dx, polo tanto du = dx, e v = sin(x), o que fai que a integral se converta en

$x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,$ que é igual a

$x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.$

Identidade da función gamma

A función gamma é un exemplo dunha función especial, definida como unha integral impropia para $z>0$. A integración por partes ilustra que é unha extensión da función factorial:

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}$

Posto que

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,$

cando $z$ é un número natural, é dicir, $z=n\in \mathbb {N}$, aplicando esta fórmula repetidamente dá o factorial: $\Gamma (n+1)=n!$

Uso na análise harmónica

A integración por partes utilízase a miúdo na análise harmónica, particularmente na análise de Fourier, para mostrar que as integrais que oscilan rapidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rapidamente. O exemplo máis común disto é o seu uso para mostrar que a decadencia da transformada de Fourier da función depende da suavidade desa función, como se describe a continuación.

Transformada de Fourier da derivada

Se $f$ é unha $k$-veces función continuamente diferenciábel e todas as derivadas ata $k$ decaen a cero no infinito, entón a súa transformada de Fourier satisfai

$({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),$

onde $f^{(k)}$ é a $k$-ésima derivada de $f$. (A constante exacta da dereita depende da convención da transformada de Fourier usada.) Isto móstrase observando que

${\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },$

polo que empregando a integración por partes na transformada de Fourier da derivada obtemos

${\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}$

Aplicando isto de forma indutiva dá o resultado para un $k$ en xeral. Pódese usar un método similar para atopar a transformada de Laplace dunha derivada dunha función.

Decadencia da transformada de Fourier

O resultado anterior fálanos sobre a decadencia da transformada de Fourier, xa que se segue que se $f$ e $f^{(k)}$ son integrábeis entón

$\vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ onde }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.$

Noutras palabras, se $f$ satisfai estas condicións, entón a súa transformada de Fourier decae no infinito polo menos tan rápido como 1/|ξ|^k. En particular, se $k\geq 2$ entón a transformada de Fourier é integrábel.

A proba usa o feito, que é inmediato pola definición da transformada de Fourier, de que

$\vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.$

Usando a mesma idea sobre a igualdade indicada ao comezo deste subapartado dáse

$\vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.$

Sumando estas dúas desigualdades e dividindo despois entre 1 + |2πξ^k| dá a desigualdade declarada.

Véxase tamén

Bibliografía

• Louis Brand (10 October 2013). Advanced Calculus: An Introduction to Classical Analysis. Courier Corporation. pp. 267–. ISBN 978-0-486-15799-3. 
• Hoffmann, Laurence D.; Bradley, Gerald L. (2004). Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences (8th ed.). pp. 450–464. ISBN 0-07-242432-X. 
• Willard, Stephen (1976). Calculus and its Applications. Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 193–214. ISBN 0-87150-203-8. 
• Washington, Allyn J. (1966). Technical Calculus with Analytic Geometry. Reading: Addison-Wesley. pp. 218–245. ISBN 0-8465-8603-7. 

Outros artigos

• Integral de Lebesgue–Stieltjes
• Integración por cambio de variábel

Ligazóns externas

• Calculadora de integração por partes.