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| 1 | + # 并查集 |
| 2 | + |
| 3 | +## 简介 |
| 4 | + |
| 5 | +并查集用于处理不相交集合的合并与查询问题，常见操作有： |
| 6 | + |
| 7 | +- 查询：查询元素属于哪个集合，可用于判断元素是否在一个集合中 |
| 8 | +- 合并：合并两个集合 |
| 9 | + |
| 10 | +应用场景：动态连通性的判断，且不需要给出具体路径。 |
| 11 | + |
| 12 | +## 数据结构 |
| 13 | + |
| 14 | +### 初始化 |
| 15 | + |
| 16 | +id数组存放的是节点的组号，初始化时将每个节点单独分为一组。 |
| 17 | + |
| 18 | +```java |
| 19 | +private int[] id; |
| 20 | + |
| 21 | +public DisjoinSet(int size) { |
| 22 | + id = new int[size]; |
| 23 | + for(int i = 0; i < size; i++) |
| 24 | + id[i] = i; |
| 25 | +} |
| 26 | +``` |
| 27 | + |
| 28 | +### Quick-Find |
| 29 | + |
| 30 | +由于使用整数表示节点，可以通过数组实现节点到组编号的映射。 |
| 31 | + |
| 32 | +```java |
| 33 | +public void union(int p, int q) { |
| 34 | + // 获得p和q的组号 |
| 35 | + int pID = id[p]; |
| 36 | + int qID = id[q]; |
| 37 | + // 如果两个组号相等，直接返回 |
| 38 | + if (pID == qID) return; |
| 39 | + // 遍历一次，改变组号使他们属于一个组 |
| 40 | + for (int i = 0; i < id.length; i++) |
| 41 | + if (id[i] == pID) id[i] = qID; |
| 42 | + count--; |
| 43 | +} |
| 44 | +``` |
| 45 | + |
| 46 | +### Quick-Union |
| 47 | + |
| 48 | +id数组存放的是节点的父节点索引，根节点的父节点是自身，通过这点判断能到达根节点。 |
| 49 | + |
| 50 | +```java |
| 51 | +private int find(int p) { |
| 52 | + // 寻找p节点所在组的根节点，根节点具有性质id[root] = root |
| 53 | + while (p != id[p]) p = id[p]; |
| 54 | + return p; |
| 55 | +} |
| 56 | +public void union(int p, int q) { |
| 57 | + // Give p and q the same root. |
| 58 | + int pRoot = find(p); |
| 59 | + int qRoot = find(q); |
| 60 | + if (pRoot == qRoot) |
| 61 | + return; |
| 62 | + // 将一棵树(即一个组)变成另外一课树(即一个组)的子树 |
| 63 | + id[pRoot] = qRoot; |
| 64 | + count--; |
| 65 | +} |
| 66 | +``` |
| 67 | + |
| 68 | +### Weighted Quick Union |
| 69 | + |
| 70 | +保存两棵树的大小，每次将小的合并到大的树中。 |
| 71 | + |
| 72 | +## 常见例题 |
| 73 | + |
| 74 | +### 冗余连接 |
| 75 | + |
| 76 | +> [684. 冗余连接](https://leetcode-cn.com/problems/redundant-connection/) |
| 77 | +> |
| 78 | +> 在本问题中, 树指的是一个连通且无环的**无向**图。 |
| 79 | +> |
| 80 | +> 输入一个图，该图由一个有着N个节点 (节点值不重复1, 2, ..., N) 的树及一条附加的边构成。附加的边的两个顶点包含在1到N中间，这条附加的边不属于树中已存在的边。 |
| 81 | +> |
| 82 | +> 结果图是一个以`边`组成的二维数组。每一个`边`的元素是一对`[u, v]` ，满足 `u < v`，表示连接顶点`u` 和`v`的**无向**图的边。 |
| 83 | +> |
| 84 | +> 返回一条可以删去的边，使得结果图是一个有着N个节点的树。如果有多个答案，则返回二维数组中最后出现的边。答案边 `[u, v]` 应满足相同的格式 `u < v`。 |
| 85 | +
|
| 86 | +```java |
| 87 | +private int[] parent; |
| 88 | +private int[] size; |
| 89 | + |
| 90 | +private int find(int p) { |
| 91 | + while (p != parent[p]) { |
| 92 | + parent[p] = parent[parent[p]]; |
| 93 | + p = parent[p]; |
| 94 | + } |
| 95 | + return p; |
| 96 | +} |
| 97 | + |
| 98 | +private boolean union(int p, int q) { |
| 99 | + int pRoot = find(p); |
| 100 | + int qRoot = find(q); |
| 101 | + // 在合并前判断是否属于相同的连通分量 |
| 102 | + if (pRoot == qRoot) { |
| 103 | + return true; |
| 104 | + } |
| 105 | + // Weighted Quick Union |
| 106 | + if (size[pRoot] < size[qRoot]) { |
| 107 | + parent[pRoot] = qRoot; |
| 108 | + size[qRoot] += size[pRoot]; |
| 109 | + } else { |
| 110 | + parent[qRoot] = pRoot; |
| 111 | + size[pRoot] += size[qRoot]; |
| 112 | + } |
| 113 | + return false; |
| 114 | +} |
| 115 | + |
| 116 | +public int[] findRedundantConnection(int[][] edges) { |
| 117 | + parent = new int[edges.length + 1]; |
| 118 | + size = new int[edges.length + 1]; |
| 119 | + // 并查集初始化 |
| 120 | + for (int i = 0; i < parent.length; i++) { |
| 121 | + parent[i] = i; |
| 122 | + size[i] = 1; |
| 123 | + } |
| 124 | + for (int[] arr : edges) { |
| 125 | + if (union(arr[0], arr[1])) { |
| 126 | + // 如果已经连通说明当前这条边是多余的 |
| 127 | + return arr; |
| 128 | + } |
| 129 | + } |
| 130 | + return new int[]{}; |
| 131 | +} |
| 132 | +``` |
| 133 | + |
| 134 | +### 打砖块 |
| 135 | + |
| 136 | +> [803. 打砖块](https://leetcode-cn.com/problems/bricks-falling-when-hit/) |
| 137 | +> |
| 138 | +>有一个 `m x n` 的二元网格，其中 `1` 表示砖块，`0` 表示空白。砖块 **稳定**（不会掉落）的前提是： |
| 139 | +> |
| 140 | +>- 一块砖直接连接到网格的顶部，或者 |
| 141 | +>- 至少有一块相邻（4 个方向之一）砖块 **稳定** 不会掉落时 |
| 142 | +> |
| 143 | +>给你一个数组 `hits` ，这是需要依次消除砖块的位置。每当消除 `hits[i] = (rowi, coli)` 位置上的砖块时，对应位置的砖块（若存在）会消失，然后其他的砖块可能因为这一消除操作而掉落。一旦砖块掉落，它会立即从网格中消失（即，它不会落在其他稳定的砖块上）。 |
| 144 | +> |
| 145 | +>返回一个数组 `result` ，其中 `result[i]` 表示第 `i` 次消除操作对应掉落的砖块数目。 |
| 146 | +> |
| 147 | +>**注意**，消除可能指向是没有砖块的空白位置，如果发生这种情况，则没有砖块掉落。 |
| 148 | +
|
| 149 | +思路：并查集是用于合并连通分量，而砖块消失实质上是拆分连通分量，因此这题应当逆向考虑，即先打碎所有砖块，再从后向前添加砖块（合并连通分量），添加后计算会增加多少个节点与根节点相连。 |
| 150 | + |
| 151 | +首先给出并查集的定义，`size`既表示连通分量的大小，也用于合并时的权重判断。 |
| 152 | + |
| 153 | +```java |
| 154 | +class DisJoinSet { |
| 155 | + |
| 156 | + private final int[] parent; |
| 157 | + private final int[] size; |
| 158 | + |
| 159 | + // 初始化并查集，根节点为自身，大小为1 |
| 160 | + public DisJoinSet(int len) { |
| 161 | + parent = new int[len]; |
| 162 | + size = new int[len]; |
| 163 | + for (int i = 0; i < len; i++) { |
| 164 | + parent[i] = i; |
| 165 | + size[i] = 1; |
| 166 | + } |
| 167 | + } |
| 168 | + |
| 169 | + // 查找连通分量的根节点 |
| 170 | + public int find(int p) { |
| 171 | + while (p != parent[p]) { |
| 172 | + parent[p] = parent[parent[p]]; |
| 173 | + p = parent[p]; |
| 174 | + } |
| 175 | + return p; |
| 176 | + } |
| 177 | + |
| 178 | + // 合并两个节点对应的连通分量 |
| 179 | + public void merge(int p, int q) { |
| 180 | + int pRoot = find(p); |
| 181 | + int qRoot = find(q); |
| 182 | + // 在合并前判断是否属于相同的连通分量 |
| 183 | + if (pRoot != qRoot) { |
| 184 | + if (size[pRoot] < size[qRoot]) { |
| 185 | + parent[pRoot] = qRoot; |
| 186 | + size[qRoot] += size[pRoot]; |
| 187 | + } else { |
| 188 | + parent[qRoot] = pRoot; |
| 189 | + size[pRoot] += size[qRoot]; |
| 190 | + } |
| 191 | + } |
| 192 | + } |
| 193 | + |
| 194 | + // 获取连通分量的大小 |
| 195 | + public int getSize(int n) { |
| 196 | + int root = find(n); |
| 197 | + return size[root]; |
| 198 | + } |
| 199 | + |
| 200 | +} |
| 201 | +``` |
| 202 | + |
| 203 | +实际使用中将二维数组映射为一维数组，并在最后增加一项作为“房顶节点”，与其相连的节点均不会下落。下面是算法逻辑： |
| 204 | + |
| 205 | +```java |
| 206 | +public int[] hitBricks(int[][] grid, int[][] hits) { |
| 207 | + int h = grid.length; |
| 208 | + int w = grid[0].length; |
| 209 | + int[] result = new int[hits.length]; |
| 210 | + // 保存当前的砖块状态 |
| 211 | + int[][] status = new int[h][w]; |
| 212 | + DisJoinSet disJoinSet = new DisJoinSet(h * w + 1); |
| 213 | + // 将status初始化为最终的状态 |
| 214 | + for (int i = 0; i < h; i++) { |
| 215 | + status[i] = grid[i].clone(); |
| 216 | + } |
| 217 | + for (int[] pos : hits) { |
| 218 | + status[pos[0]][pos[1]] = 0; |
| 219 | + } |
| 220 | + // 根据最后的状态构造并查集 |
| 221 | + for (int i = 0; i < h; i++) { |
| 222 | + for (int j = 0; j < w; j++) { |
| 223 | + if (status[i][j] == 0) { |
| 224 | + continue; |
| 225 | + } |
| 226 | + if (i == 0) { |
| 227 | + // 一块砖直接连接到网格的顶部 |
| 228 | + disJoinSet.merge( h * w, j); |
| 229 | + } else { |
| 230 | + // 上方有相邻砖块 |
| 231 | + if (status[i - 1][j] == 1) { |
| 232 | + disJoinSet.merge((i - 1) * w + j, i * w + j); |
| 233 | + } |
| 234 | + // 左侧有相邻砖块 |
| 235 | + if (j > 0 && status[i][j - 1] == 1) { |
| 236 | + disJoinSet.merge(i * w + j - 1, i * w + j); |
| 237 | + } |
| 238 | + } |
| 239 | + } |
| 240 | + } |
| 241 | + // 从后向前把砖块补上 |
| 242 | + int[][] directions = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}}; |
| 243 | + for (int i = hits.length - 1; i >= 0; i--) { |
| 244 | + int r = hits[i][0]; |
| 245 | + int c = hits[i][1]; |
| 246 | + if (grid[r][c] == 0) { |
| 247 | + result[i] = 0; |
| 248 | + } else { |
| 249 | + // 添加砖块前与房顶相连通的节点数目 |
| 250 | + int prev = disJoinSet.getSize(h * w); |
| 251 | + // 顶部第一行的情况 |
| 252 | + if (r == 0) { |
| 253 | + disJoinSet.merge(c, h * w); |
| 254 | + } |
| 255 | + // 处理四周的节点 |
| 256 | + for (int[] direction : directions) { |
| 257 | + int nr = r + direction[0]; |
| 258 | + int nc = c + direction[1]; |
| 259 | + |
| 260 | + if (nr >= 0 && nr < h && nc >= 0 && nc < w && status[nr][nc] == 1) { |
| 261 | + disJoinSet.merge(r * w + c, nr * w + nc); |
| 262 | + } |
| 263 | + } |
| 264 | + // 获得增加的节点数，即为正向操作时这一步下落的节点数 |
| 265 | + result[i] = Math.max(0, disJoinSet.getSize(h * w) - prev - 1); |
| 266 | + status[r][c] = 1; |
| 267 | + } |
| 268 | + } |
| 269 | + return result; |
| 270 | +} |
| 271 | +``` |
| 272 | + |
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