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@@ -408,7 +408,7 @@ headerDepth: 0
408408
| 题号 | 标题 | 题解 | 标签 | 难度 | 力扣 |
409409
| :------: | :------ | :------: | :------ | :------: | :------: |
410410
| 3151 | 特殊数组 I | | [`数组`](/tag/array.md) | 🟢 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/special-array-i) [🔗](https://leetcode.com/problems/special-array-i) |
411-
| 3152 | 特殊数组 II | | [`数组`](/tag/array.md) [`二分查找`](/tag/binary-search.md) [`前缀和`](/tag/prefix-sum.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/special-array-ii) [🔗](https://leetcode.com/problems/special-array-ii) |
411+
| 3152 | 特殊数组 II | [[✓]](/problem/3152.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`二分查找`](/tag/binary-search.md) [`前缀和`](/tag/prefix-sum.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/special-array-ii) [🔗](https://leetcode.com/problems/special-array-ii) |
412412
| 3153 | 所有数对中数位差之和 | | [`数组`](/tag/array.md) [`哈希表`](/tag/hash-table.md) [`数学`](/tag/math.md) `1+` | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/sum-of-digit-differences-of-all-pairs) [🔗](https://leetcode.com/problems/sum-of-digit-differences-of-all-pairs) |
413413
| 3154 | 到达第 K 级台阶的方案数 | | [`位运算`](/tag/bit-manipulation.md) [`记忆化搜索`](/tag/memoization.md) [`数学`](/tag/math.md) `2+` | 🔴 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/find-number-of-ways-to-reach-the-k-th-stair) [🔗](https://leetcode.com/problems/find-number-of-ways-to-reach-the-k-th-stair) |
414414

@@ -1200,7 +1200,7 @@ headerDepth: 0
12001200
| 题号 | 标题 | 题解 | 标签 | 难度 | 力扣 |
12011201
| :------: | :------ | :------: | :------ | :------: | :------: |
12021202
| 2778 | 特殊元素平方和 | | [`数组`](/tag/array.md) [`枚举`](/tag/enumeration.md) | 🟢 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/sum-of-squares-of-special-elements) [🔗](https://leetcode.com/problems/sum-of-squares-of-special-elements) |
1203-
| 2779 | 数组的最大美丽值 | | [`数组`](/tag/array.md) [`二分查找`](/tag/binary-search.md) [`排序`](/tag/sorting.md) `1+` | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/maximum-beauty-of-an-array-after-applying-operation) [🔗](https://leetcode.com/problems/maximum-beauty-of-an-array-after-applying-operation) |
1203+
| 2779 | 数组的最大美丽值 | [[✓]](/problem/2779.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`二分查找`](/tag/binary-search.md) [`排序`](/tag/sorting.md) `1+` | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/maximum-beauty-of-an-array-after-applying-operation) [🔗](https://leetcode.com/problems/maximum-beauty-of-an-array-after-applying-operation) |
12041204
| 2780 | 合法分割的最小下标 | | [`数组`](/tag/array.md) [`哈希表`](/tag/hash-table.md) [`排序`](/tag/sorting.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/minimum-index-of-a-valid-split) [🔗](https://leetcode.com/problems/minimum-index-of-a-valid-split) |
12051205
| 2781 | 最长合法子字符串的长度 | | [`数组`](/tag/array.md) [`哈希表`](/tag/hash-table.md) [`字符串`](/tag/string.md) `1+` | 🔴 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/length-of-the-longest-valid-substring) [🔗](https://leetcode.com/problems/length-of-the-longest-valid-substring) |
12061206

‎problem/0001.md

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@@ -90,7 +90,7 @@ var twoSum = function (nums, target) {
9090
| 15 | 三数之和 | [[✓]](/problem/0015.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) [`排序`](/tag/sorting.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/3sum) [🔗](https://leetcode.com/problems/3sum) |
9191
| 18 | 四数之和 | [[✓]](/problem/0018.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) [`排序`](/tag/sorting.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/4sum) [🔗](https://leetcode.com/problems/4sum) |
9292
| 167 | 两数之和 II - 输入有序数组 | [[✓]](/problem/0167.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) [`二分查找`](/tag/binary-search.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/two-sum-ii-input-array-is-sorted) [🔗](https://leetcode.com/problems/two-sum-ii-input-array-is-sorted) |
93-
| 170 | 两数之和 III - 数据结构设计 🔒 | | [`设计`](/tag/design.md) [`数组`](/tag/array.md) [`哈希表`](/tag/hash-table.md) `2+` | 🟢 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/two-sum-iii-data-structure-design) [🔗](https://leetcode.com/problems/two-sum-iii-data-structure-design) |
93+
| 170 | 两数之和 III - 数据结构设计 🔒 | [[✓]](/problem/0170.md) | [`设计`](/tag/design.md) [`数组`](/tag/array.md) [`哈希表`](/tag/hash-table.md) `2+` | 🟢 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/two-sum-iii-data-structure-design) [🔗](https://leetcode.com/problems/two-sum-iii-data-structure-design) |
9494
| 560 | 和为 K 的子数组 | [[✓]](/problem/0560.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`哈希表`](/tag/hash-table.md) [`前缀和`](/tag/prefix-sum.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/subarray-sum-equals-k) [🔗](https://leetcode.com/problems/subarray-sum-equals-k) |
9595
| 653 | 两数之和 IV - 输入二叉搜索树 | | [`树`](/tag/tree.md) [`深度优先搜索`](/tag/depth-first-search.md) [`广度优先搜索`](/tag/breadth-first-search.md) `4+` | 🟢 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/two-sum-iv-input-is-a-bst) [🔗](https://leetcode.com/problems/two-sum-iv-input-is-a-bst) |
9696
| 1099 | 小于 K 的两数之和 🔒 | | [`数组`](/tag/array.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) [`二分查找`](/tag/binary-search.md) `1+` | 🟢 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/two-sum-less-than-k) [🔗](https://leetcode.com/problems/two-sum-less-than-k) |

‎problem/0031.md

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@@ -148,6 +148,6 @@ var nextPermutation = function (nums) {
148148
| :------: | :------ | :------: | :------ | :------: | :------: |
149149
| 46 | 全排列 | [[✓]](/problem/0046.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`回溯`](/tag/backtracking.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutations) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutations) |
150150
| 47 | 全排列 II | [[✓]](/problem/0047.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`回溯`](/tag/backtracking.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutations-ii) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutations-ii) |
151-
| 60 | 排列序列 | | [`递归`](/tag/recursion.md) [`数学`](/tag/math.md) | 🔴 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutation-sequence) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutation-sequence) |
151+
| 60 | 排列序列 | [[✓]](/problem/0060.md) | [`递归`](/tag/recursion.md) [`数学`](/tag/math.md) | 🔴 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutation-sequence) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutation-sequence) |
152152
| 267 | 回文排列 II 🔒 | | [`哈希表`](/tag/hash-table.md) [`字符串`](/tag/string.md) [`回溯`](/tag/backtracking.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/palindrome-permutation-ii) [🔗](https://leetcode.com/problems/palindrome-permutation-ii) |
153153
| 1850 | 邻位交换的最小次数 | | [`贪心`](/tag/greedy.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) [`字符串`](/tag/string.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/minimum-adjacent-swaps-to-reach-the-kth-smallest-number) [🔗](https://leetcode.com/problems/minimum-adjacent-swaps-to-reach-the-kth-smallest-number) |

‎problem/0046.md

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@@ -117,5 +117,5 @@ var permute = function (nums) {
117117
| :------: | :------ | :------: | :------ | :------: | :------: |
118118
| 31 | 下一个排列 | [[✓]](/problem/0031.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/next-permutation) [🔗](https://leetcode.com/problems/next-permutation) |
119119
| 47 | 全排列 II | [[✓]](/problem/0047.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`回溯`](/tag/backtracking.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutations-ii) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutations-ii) |
120-
| 60 | 排列序列 | | [`递归`](/tag/recursion.md) [`数学`](/tag/math.md) | 🔴 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutation-sequence) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutation-sequence) |
120+
| 60 | 排列序列 | [[✓]](/problem/0060.md) | [`递归`](/tag/recursion.md) [`数学`](/tag/math.md) | 🔴 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutation-sequence) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutation-sequence) |
121121
| 77 | 组合 | [[✓]](/problem/0077.md) | [`回溯`](/tag/backtracking.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/combinations) [🔗](https://leetcode.com/problems/combinations) |

‎problem/0060.md

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@@ -0,0 +1,182 @@
1+
---
2+
title: 60. 排列序列
3+
description: LeetCode 60. 排列序列题解，Permutation Sequence，包含解题思路、复杂度分析以及完整的 JavaScript 代码实现。
4+
keywords:
5+
- LeetCode
6+
- 60. 排列序列
7+
- 排列序列
8+
- Permutation Sequence
9+
- 解题思路
10+
- 递归
11+
- 数学
12+
---
13+
14+
# 60. 排列序列
15+
16+
🔴 <font color=#ff334b>Hard</font>&emsp; 🔖&ensp; [`递归`](/tag/recursion.md) [`数学`](/tag/math.md)&emsp; 🔗&ensp;[`力扣`](https://leetcode.cn/problems/permutation-sequence) [`LeetCode`](https://leetcode.com/problems/permutation-sequence)
17+
18+
## 题目
19+
20+
The set `[1, 2, 3, ..., n]` contains a total of `n!` unique permutations.
21+
22+
By listing and labeling all of the permutations in order, we get the following
23+
sequence for `n = 3`:
24+
25+
1. `"123"`
26+
2. `"132"`
27+
3. `"213"`
28+
4. `"231"`
29+
5. `"312"`
30+
6. `"321"`
31+
32+
Given `n` and `k`, return the `kth` permutation sequence.
33+
34+
**Example 1:**
35+
36+
> Input: n = 3, k = 3
37+
>
38+
> Output: "213"
39+
40+
**Example 2:**
41+
42+
> Input: n = 4, k = 9
43+
>
44+
> Output: "2314"
45+
46+
**Example 3:**
47+
48+
> Input: n = 3, k = 1
49+
>
50+
> Output: "123"
51+
52+
**Constraints:**
53+
54+
- `1 <= n <= 9`
55+
- `1 <= k <= n!`
56+
57+
## 题目大意
58+
59+
给出集合 `[1,2,3,...,n]`，其所有元素共有 `n!` 种排列。
60+
61+
按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 `n = 3` 时, 所有排列如下：
62+
63+
1. `"123"`
64+
2. `"132"`
65+
3. `"213"`
66+
4. `"231"`
67+
5. `"312"`
68+
6. `"321"`
69+
70+
给定 `n` 和 `k`，返回第 `k` 个排列。
71+
72+
**示例 1：**
73+
74+
> **输入：** n = 3, k = 3
75+
>
76+
> **输出：** "213"
77+
78+
**示例 2：**
79+
80+
> **输入：** n = 4, k = 9
81+
>
82+
> **输出：** "2314"
83+
84+
**示例 3：**
85+
86+
> **输入：** n = 3, k = 1
87+
>
88+
> **输出：** "123"
89+
90+
**提示：**
91+
92+
- `1 <= n <= 9`
93+
- `1 <= k <= n!`
94+
95+
## 解题思路
96+
97+
这道题的核心是利用数学方法直接定位到第 `k` 个排列，而不是逐个生成所有排列。
98+
99+
1. **阶乘性质**
100+
101+
对于长度为 `n` 的排列：
102+
103+
- 每个数字可以作为排列的第一个数字。
104+
- 当第一个数字固定后，其余数字的排列共有 `(n-1)!` 种可能。
105+
106+
例如：
107+
108+
- 对于 `n = 3` 的排列 `["123", "132", "213", "231", "312", "321"]`：
109+
- 第一个数字为 `1` 的排列有 `2! = 2` 个：`["123", "132"]`。
110+
- 第一个数字为 `2` 的排列有 `2! = 2` 个：`["213", "231"]`。
111+
- 第一个数字为 `3` 的排列有 `2! = 2` 个：`["312", "321"]`。
112+
113+
2. **如何确定第一个数字**
114+
115+
- 使用 `k` 和 `(n-1)!` 的关系确定第一个数字。
116+
- 计算 `index = Math.floor((k-1) / (n-1)!)`，这个 `index` 表示当前可用数字中哪个数字是第一个。
117+
- 更新 `k = k % (n-1)!`，继续对剩余的排列进行同样的计算。
118+
119+
3. **重复以上过程**
120+
121+
- 每次固定一个数字，直到所有数字固定为止。
122+
123+
---
124+
125+
**算法步骤**
126+
127+
1. **预计算阶乘**：
128+
- 构造一个数组 `factorial`，保存 `0!` 到 `(n-1)!` 的值。
129+
2. **维护候选数字**：
130+
- 使用一个数组 `nums` 保存当前可用的数字（初始为 `[1, 2, ..., n]`）。
131+
3. **逐位确定数字**：
132+
- 对于第 `i` 位，计算 `index` 和更新 `k`。
133+
- 根据 `index` 从 `nums` 中取出数字，加入结果。
134+
135+
#### 复杂度分析
136+
137+
- **时间复杂度**：`O(n^2)`
138+
139+
- 计算阶乘：`O(n)`。
140+
- 每次选取数字要进行数组的 `splice` 操作，复杂度为`O(n)`，最多取 `n` 次，总复杂度：`O(n^2)`。
141+
142+
- **空间复杂度**：`O(n)`，存储阶乘和候选数字。
143+
144+
## 代码
145+
146+
```javascript
147+
/**
148+
* @param {number} n
149+
* @param {number} k
150+
* @return {string}
151+
*/
152+
var getPermutation = function (n, k) {
153+
// 计算阶乘
154+
const factorial = Array(n).fill(1);
155+
for (let i = 1; i < n; i++) {
156+
factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
157+
}
158+
159+
// 初始化候选数字
160+
const nums = Array.from({ length: n }, (_, i) => i + 1);
161+
let result = '';
162+
163+
// 从最高位到最低位确定数字
164+
k--; // 转为从 0 开始的索引
165+
for (let i = n; i > 0; i--) {
166+
const index = Math.floor(k / factorial[i - 1]);
167+
result += nums[index];
168+
nums.splice(index, 1); // 移除已选数字
169+
k %= factorial[i - 1]; // 更新 k
170+
}
171+
172+
return result;
173+
};
174+
```
175+
176+
## 相关题目
177+
178+
<!-- prettier-ignore -->
179+
| 题号 | 标题 | 题解 | 标签 | 难度 | 力扣 |
180+
| :------: | :------ | :------: | :------ | :------: | :------: |
181+
| 31 | 下一个排列 | [[✓]](/problem/0031.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`双指针`](/tag/two-pointers.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/next-permutation) [🔗](https://leetcode.com/problems/next-permutation) |
182+
| 46 | 全排列 | [[✓]](/problem/0046.md) | [`数组`](/tag/array.md) [`回溯`](/tag/backtracking.md) | 🟠 | [🀄️](https://leetcode.cn/problems/permutations) [🔗](https://leetcode.com/problems/permutations) |

‎problem/0081.md

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@@ -50,9 +50,7 @@ You must decrease the overall operation steps as much as possible.
5050
- `nums` is guaranteed to be rotated at some pivot.
5151
- `-10^4 <= target <= 10^4`
5252

53-
**Follow up:** This problem is similar to [Search in Rotated Sorted
54-
Array](/problems/search-in-rotated-sorted-array/description/), but `nums` may
55-
contain **duplicates**. Would this affect the runtime complexity? How and why?
53+
**Follow up:** This problem is similar to [Search in Rotated SortedArray](./0033.md), but `nums` may contain **duplicates**. Would this affect the runtime complexity? How and why?
5654

5755
## 题目大意
5856

@@ -64,17 +62,35 @@ contain **duplicates**. Would this affect the runtime complexity? How and why?
6462

6563
你必须尽可能减少整个操作步骤。
6664

65+
**进阶：**
66+
67+
此题与 [搜索旋转排序数组](./0033.md) 相似，但本题中的 `nums` 可能包含 **重复** 元素。这会影响到程序的时间复杂度吗？会有怎样的影响，为什么？
68+
6769
## 解题思路
6870

69-
可以使用修改版的二分查找算法来解决这个问题。
71+
这道题与[第 33 题 搜索旋转排序数组](./0033.md) 相似，区别是本题中的 `nums` 可能包含 **重复** 元素，因此需要增加**第 3 步**，跳过潜在的重复性。
72+
73+
由于数组是部分有序的，可以利用 **二分查找** 的思想来解决这个问题。与普通的二分查找不同，这里数组被旋转过，所以需要通过额外的判断来确定二分查找的方向。
74+
75+
1. 首先，数组依然可以通过中间值 `mid` 将左右部分分为有序和无序两部分。
76+
2. 每次找到中间位置 `mid`，先检查 `nums[mid]` 是否等于目标值。如果相等，直接返回索引。
77+
3. 接着检查 `nums[left]` 和 `nums[mid]` 值是否相同，如果相同，则需要处理重复项，在这种情况下，可以增加 `left` 以跳过潜在的重复项。
78+
4. 通过 `nums[left]` 和 `nums[mid]` 的大小关系来判断哪一部分是有序的。
7079

71-
可以定义两个指针 `left` 和 `right`，分别指向数组的起始和结束位置。在每一步查找中，计算中间位置 `mid`。如果 `nums[mid]` 等于目标值，那么直接返回 `true`。
80+
- 通过比较 `nums[left]` 和 `nums[mid]` 可以判断左半部分是否有序。
81+
- 如果 `nums[left] <= nums[mid]`，说明左半部分是有序的，否则右半部分有序。
7282

73-
然后，需要处理数组被旋转的情况。在正常的有序数组中，左半部分的元素总是小于等于右半部分的元素。如果 `nums[left] <= nums[mid]`，说明左半部分是有序的。在这种情况下，可以判断目标值是否在左半部分，如果是，则将 `right` 指针移到 `mid - 1` 处；否则，将 `left` 指针移到 `mid + 1` 处。
83+
5. 判断目标值的位置：
7484

75-
反之，如果 `nums[left] > nums[mid]`，说明右半部分是有序的。在这种情况下，可以判断目标值是否在右半部分，如果是，则将 `left` 指针移到 `mid + 1` 处；否则，将 `right` 指针移到 `mid - 1` 处。
85+
- 如果左半部分有序，且目标值落在 `nums[left]` 到 `nums[mid]` 之间，那么缩小搜索范围至左半部分，否则去右半部分继续查找。
86+
- 如果右半部分有序，且目标值落在 `nums[mid]` 到 `nums[right]` 之间，那么缩小搜索范围至右半部分，否则去左半部分继续查找。
7687

77-
通过不断缩小搜索范围，最终可以找到目标值或者确定不存在。
88+
6. 不断缩小查找区间，直到找到目标值，或者使得 `left > right`时返回 `-1`。
89+
90+
#### 复杂度分析
91+
92+
- **时间复杂度**：`O(log n)`，这是二分查找的时间复杂度，每次查找时将搜索范围缩小一半。
93+
- **空间复杂度**：`O(1)`，只用了常量级的额外空间。
7894

7995
## 代码
8096

@@ -87,27 +103,43 @@ contain **duplicates**. Would this affect the runtime complexity? How and why?
87103
var search = function (nums, target) {
88104
let left = 0;
89105
let right = nums.length - 1;
106+
90107
while (left <= right) {
91-
const mid = Math.floor((right - left) / 2) + left;
108+
let mid = Math.floor((left + right) / 2);
109+
110+
// 找到目标值
111+
if (nums[mid] === target) {
112+
return mid;
113+
}
114+
115+
// 跳过潜在的重复项
116+
if (nums[left] == nums[mid]) {
117+
left++;
118+
continue;
119+
}
120+
121+
// 判断左半部分是否有序
92122
if (nums[left] <= nums[mid]) {
93-
if (nums[mid] > target) {
94-
right = mid - 1;
95-
} else if (nums[mid] < target) {
96-
left = mid + 1;
97-
} else if (nums[mid] == target) {
98-
return true;
123+
// 如果 target 在左半部分的范围内
124+
if (nums[left] <= target && target < nums[mid]) {
125+
right = mid - 1; // 缩小到左半部分
126+
} else {
127+
left = mid + 1; // 否则缩小到右半部分
99128
}
100-
} else {
101-
if (nums[mid] > target) {
102-
right = mid - 1;
103-
} else if (nums[mid] < target) {
104-
left = mid + 1;
105-
} else if (nums[mid] == target) {
106-
return true;
129+
}
130+
// 否则右半部分有序
131+
else {
132+
// 如果 target 在右半部分的范围内
133+
if (nums[mid] < target && target <= nums[right]) {
134+
left = mid + 1; // 缩小到右半部分
135+
} else {
136+
right = mid - 1; // 否则缩小到左半部分
107137
}
108138
}
109139
}
110-
return false;
140+
141+
// 没有找到目标值
142+
return -1;
111143
};
112144
```
113145

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