Gammafunktio

Gammafunktion kuvaaja pienillä positiivisilla arvoilla

Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia $\Gamma$ (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä

$\Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}\,dx$.

Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

Gammafunktion johtaminen

Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä $I=\int _{0}^{\infty }e^{-ax}dx={\frac {1}{a}}$. $I\,\!$ on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

${\frac {dI}{da}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}\left(e^{-ax}\right)dx={\frac {d}{da}}\left({\frac {1}{a}}\right)$

josta

$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}dx={\frac {1}{a^{2}}}$

Toistetaan:

$\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2}{a^{3}}}$

Toistetaan:

$\int _{0}^{\infty }x^{3}e^{-ax}dx={\frac {1\times 2\times 3}{a^{4}}}$

$\vdots$

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}$

Sijoitetaan $a=1\,\!$ ja saamme

$n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx$

josta määrittelemme gammafunktion

$\Gamma \left(p\right)=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}e^{-x}dx\qquad p\geq 0$

n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:

$\Gamma \left(p\right)=\left(p-1\right)!\qquad p=1,2,3,\cdots$

Gammafunktion ominaisuuksia

Jos $n$ on luonnollinen luku, niin $\Gamma (n)=(n-1)!$

Jos $n$ on luonnollinen luku, niin saadaan:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}$

ja

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-1)^{n}2^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots \cdot (2n-1)}}{\sqrt {\pi }}$

Tästä tulee arvot:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

$\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}$

Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\ldots (z+n)}}$

Gammafunktiolle pätee lisäksi:

$\Gamma (x)\Gamma (-x)=-{\frac {\pi }{x\sin(\pi x)}}$

$\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}$

Katso myös

• Gamma-jakauma, Beta-jakauma

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. (Moniste 95) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6
• Laasonen, Pentti: Matemaattisia erikoisfunktioita. (Moniste 261) Otaniemi: TKK, 1971.

Aiheesta muualla

• Mathworld. Gamma Function (englanniksi)