Universelle Eigenschaft

Eine universelle Eigenschaft ist eine Methode der Mathematik, und dort insbesondere der abstrakten Algebra, sich eine gewünschte Struktur ohne Angabe einer konkreten Konstruktion zu verschaffen. Dabei wird für Objekte einer bestimmten Kategorie $\mathbf {C}$, z. B. der Kategorie der abstrakten Algebren, eine Eigenschaft festgelegt, z. B., dass es von einem Vektorraum $V$ eine injektive Abbildung in die Algebra gebe.

Die Universalkonstruktion besteht nun darin, die Existenz eines „kleinsten“ Elements $U$ der Kategorie zu behaupten, das die Eigenschaft erfüllt. Im Beispiel wäre das die Tensoralgebra $TV$ von $V$. „Kleinstes“ zu sein bedeutet, dass es zu jedem Objekt $W$ der Kategorie $\mathbf {C}$, das die geforderte Eigenschaft erfüllt, einen eindeutig bestimmten Morphismus $f\colon U\to W$ gibt, der mit der Eigenschaft verträglich ist, im Beispiel mit der Einbettung von $V$ vertauscht.

Das „kleinste“ Element muss nicht eindeutig bestimmt sein, jedoch sind alle „kleinsten“ Elemente, sofern existent, isomorph. Als Existenzbeweis kann eine konkrete Konstruktion angegeben werden, jedoch sind die Details so einer Konstruktion für die Theorie der Struktur meistens unwesentlich.

Beispiele

• Der kanonische Homomorphismus einer Gruppe auf die Faktorgruppe nach einem Normalteiler
• Die Tensoralgebra, siehe oben
• Der Kern einer linearen Abbildung
• Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums als kleinster Unterraum, der diese Menge enthält
• Die affine Hülle einer Teilmenge eines affinen Raums
• Die konvexe Hülle einer Teilmenge eines affinen Raums
• Der algebraische Abschluss eines Körpers
• Die freie Termalgebra
• Die abgeschlossene Hülle einer Teilmenge eines topologischen Raums
• Das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raums als größte offene Menge, die in der Teilmenge enthalten ist

Motivation

Wofür sind universelle Eigenschaften gut? Wenn eine gewisse Konstruktion eine universelle Eigenschaft erfüllt, so ergeben sich daraus weitere Erkenntnisse:

• Universelle Eigenschaften definieren Objekte bis auf Isomorphismen. Zu zeigen, dass zwei Objekte dieselbe universelle Eigenschaft erfüllen, ist somit eine mögliche Strategie, um deren Isomorphie zu zeigen.
• Die genauen Details der gegebenen Konstruktion sind möglicherweise komplex und äußerst technischer Natur, aber dank der universellen Eigenschaft kann man all diese Details vergessen: Alles, was man über das Konstrukt wissen muss, ist bereits in der universellen Eigenschaft enthalten. Wenn man die universelle Eigenschaft anstelle der konkreten Details verwendet, macht dies einen Beweis meist kurz und elegant.
• Sofern die universelle Konstruktion für jedes Objekt einer Kategorie durchgeführt werden kann, so erhalten wir einen Funktor in die Zielkategorie.
• Dieser Funktor ist obendrein rechts- oder linksadjungiert zu einem gegebenen Funktor. Aber solche Funktoren vertauschen grundsätzlich mit Kolimites bzw. Limites. Auf diese Weise folgt beispielsweise sofort, dass der Kern des direkten Produktes zweier linearer Abbildungen dem Produkt der Kerne gleicht (kanonisch isomorph ist).

Formale Definition

Sei $U\colon \mathbf {D} \to \mathbf {C}$ ein Funktor von der Kategorie $\mathbf {D}$ in die Kategorie $\mathbf {C}$ und sei $X$ ein Objekt von $\mathbf {C}$. Ein universeller Morphismus von $X$ nach $U$ besteht aus einem Paar $(A,\phi )$, wobei $A$ ein $\mathbf {D}$-Objekt und $\phi \colon X\to U(A)$ ein Morphismus in $\mathbf {C}$ ist, sodass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jedes $\mathbf {D}$-Objekt $Y$ und jeden $\mathbf {C}$-Morphismus $f\colon X\to U(Y)$ gibt es genau einen Morphismus $g\colon A\to Y$, sodass $f=U(g)\circ \phi$ gilt, d. h., sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Intuitiv bedeutet die Existenz von $g$, dass $A$ „allgemein genug“ ist, während die Eindeutigkeit sicherstellt, dass $A$ nicht „zu allgemein“ ist.

Man kann in dieser Definition auch sämtliche Pfeile umkehren, d. h., das kategorientheoretische Dual betrachten. Ein universeller Morphismus von $U$ nach $X$ ist ein Paar $(A,\phi )$, wobei $A$ ein $\mathbf {D}$-Objekt und $\phi \colon U(A)\to X$ ein Morphismus in $\mathbf {C}$ ist, sodass die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Für jedes $\mathbf {D}$-Objekt $Y$ und jeden $\mathbf {C}$-Morphismus $f\colon U(Y)\to X$ gibt es genau einen Morphismus $g\colon Y\to A$, sodass $f=\phi \circ U(g)$ gilt, d. h., sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Eigenschaften

Existenz und Eindeutigkeit

Die bloße Definition garantiert noch keine Existenz. Zu einem Funktor $U$ und einem Objekt $X$ wie oben kann ein universeller Morphismus von $X$ nach $U$ existieren oder auch nicht. Falls jedoch ein universeller Morphismus $(A,\phi )$ existiert, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Ist also $(A',\phi ')$ ein weiteres solches Paar, so gibt es einen Isomorphismus $g\colon A\to A'$ mit $\phi '=U(g)\circ \phi$. Dies erkennt man, indem man die Definition der universellen Eigenschaft auf $(Y,f)=(A',\phi ')$ anwendet.

Äquivalente Formulierungen

Die Definition eines universellen Morphismus kann man auf verschiedene Weise formulieren. Mit einem Funktor $U\colon \mathbf {D} \to \mathbf {C}$ und einem $\mathbf {C}$-Objekt $X$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $(A,\phi )$ ist ein universeller Morphismus von $X$ nach $U$.
• $(A,\phi )$ ist ein Anfangsobjekt der Kommakategorie $(X\downarrow U)$.
• $(A,\phi )$ ist eine Darstellung des Funktors $\operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(X,U({-}))$.

Entsprechend sind die dualen Aussagen äquivalent:

• $(A,\phi )$ ist ein universeller Morphismus von $U$ nach $X$.
• $(A,\phi )$ ist ein Endobjekt der Kommakategorie $(U\downarrow X)$.
• $(A,\phi )$ ist eine Darstellung des Funktors $\operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(U({-}),X)$.

Beziehung zu adjungierten Funktoren

Sei $(A_{1},\phi _{1})$ ein universeller Morphismus von $X_{1}$ nach $U$ und $(A_{2},\phi _{2})$ einer von $X_{2}$ nach $U$. Aufgrund der universellen Eigenschaft existiert zu jedem Morphismus $h\colon X_{1}\to X_{2}$ genau ein Morphismus $g\colon U(X_{1})\to U(X_{2})$ mit $U(g)\circ \phi _{1}=\phi _{2}\circ h$.

Gibt es sogar zu jedem Objekt $X_{i}$ der Kategorie $\mathbf {C}$ einen universellen Morphismus nach $U$, so definiert die Zuordnung $X_{i}\mapsto A_{i}$, $h\mapsto g$ einen Funktor $V\colon C\to D$. Die Morphismen $\phi _{i}$ bilden eine natürliche Transformation von $1_{\mathbf {C} }$ (dem Identitätsfunktor auf $\mathbf {C}$) nach $U\circ V$. Dann ist $(V,U)$ ein Paar adjungierter Funktoren, und zwar ist $V$ links-adjungiert zu $U$ und $U$ rechts-adjungiert zu $V$.

Entsprechendes gilt mutatis mutandis im dualen Fall.

Geschichte

Universelle Eigenschaften wurden im Zusammenhang mit verschiedenen topologischen Konstruktionen 1948 von Pierre Samuel eingeführt. Später nutzte Nicolas Bourbaki sie in großem Umfang. Das eng verbundene Konzept der Adjungiertheit von Funktoren hat Daniel Kan unabhängig hiervon 1958 eingeführt.