Schwerpunktsystem

Das Schwerpunktsystem (englisch: Center-of-mass system, CMS) ist ein Bezugssystem, in dem der Schwerpunkt des betrachteten physikalischen Systems im Koordinatenursprung ruht. Im Schwerpunktsystem lassen sich viele dynamische Vorgänge besonders einfach beschreiben.

Aus der Definition des Schwerpunktsystems folgt direkt, dass in ihm der Gesamtimpuls der beteiligten Massen $m_{i}$ (die Summe aller Impulsvektoren ${\vec {p}}_{i}$ ) zu jeder Zeit, vor wie nach einem Stoß- oder Reaktionsvorgang, gleich null ist:

\sum _{i}{\vec {p}}_{i}={\vec {0}}

Für den Ortsvektor ${\vec {r}}_{s}{}$ des Schwerpunkts S im Laborsystem gilt

{\vec {r}}_{s}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.

Die Transformation von einem System in das andere ist im klassischen Fall eine Galilei-Transformation, im relativistischen Fall eine Lorentztransformation.

In der Astronomie wird das Schwerpunktsystem eines Mehrkörper-Problems baryzentrisches System genannt.

Beispiel für die Anwendung

Die Geschwindigkeiten zweier Körper nach einem klassischen elastischen Stoß werden im Laborsystem durch Lösung eines Gleichungssystems aus Energieerhaltungssatz

{\begin{aligned}\sum E_{\mathrm {kin} }&=\sum E'_{\mathrm {kin} }\\{\frac {m_{1}}{2}}v_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}v_{2}^{2}&={\frac {m_{1}}{2}}v_{1}'^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}v_{2}'^{2}\\\end{aligned}}

und Impulserhaltungssatz

{\begin{aligned}\sum {\vec {p}}&=\sum {\vec {p}}'\\m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}&=m_{1}{\vec {v}}_{1}'+m_{2}{\vec {v}}_{2}'\\\end{aligned}}

bestimmt.

Im Schwerpunktsystem reduziert sich der gesamte Prozess nach Abzug der Schwerpunktgeschwindigkeit

{\begin{aligned}{\vec {v}}_{s}&={\frac {\sum {\vec {p}}}{\sum {m}}}\\\end{aligned}}

(Galilei-Transformation) auf einen Vorzeichenwechsel einer Geschwindigkeitskomponente (relativ zum Schwerpunkt) jedes Körpers.

Zahlenbeispiel

Körper 1 mit Masse m=0,1kg und v=100m/s stößt auf einen ruhenden Körper der Masse 1,9 kg.

Im Laborsystem würde man aus den Erhaltungssätzen das folgende Gleichungssystem lösen:

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot 0{,}1\,\mathrm {kg} \cdot v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1{,}9\,\mathrm {kg} \cdot v_{2}'^{2}&={\frac {1}{2}}\cdot 0{,}1\,\mathrm {kg} \cdot \left(100\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1{,}9\,\mathrm {kg} \cdot \left(0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\right)^{2}=500\,{\frac {\mathrm {kg} \,\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}\\0{,}1\,\mathrm {kg} \cdot v_{1}'+1{,}9\,\mathrm {kg} \cdot v_{2}'&=0{,}1\,\mathrm {kg} \cdot 100\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}+1{,}9\,\mathrm {kg} \cdot 0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=10\,{\frac {\mathrm {kg} \,\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\\\end{aligned}}

Im Schwerpunktsystem berechnet man zunächst die Schwerpunktgeschwindigkeit:

{\begin{aligned}v_{s}={\frac {0{,}1\,\mathrm {kg} \cdot 100\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}+1{,}9\,\mathrm {kg} \cdot 0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}{0{,}1\,\mathrm {kg} +1{,}9\,\mathrm {kg} }}=5\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\end{aligned}}

Diese wird von den Anfangsgeschwindigkeiten subtrahiert.

Die Körper haben nun die Relativgeschwindigkeiten 95m/s und -5m/s. Durch den Stoß werden nur die Vorzeichen getauscht. Körper 1 hat nun v=-95m/s, Körper 2 hat v=+5m/s.

Anschließend findet die Rücktransformation ins Laborsystem statt durch Addition der Schwerpunktgeschwindigkeit (+5m/s), was auf die Endgeschwindigkeiten v=-90m/s für Körper 1 und v=+10m/s für Körper 2 führt.

Literatur

L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik Band 1: Mechanik, Akademie Verlag Berlin 1970
Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer, 24. Auflage 2010, ISBN 978-3-642-12893-6
Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2000, ISBN 3-8274-0574-2

Siehe auch